105. Полиномы Лежандра.

Отметим теперь один важный частный случай гипергеометрического ряда. Предварительно установим некоторое общее преобразование для линейных уравнений второго порядка. Пусть имеется уравнение второго порядка вида

Найдем такой множитель , чтобы

Мы должны иметь

откуда

или

т. е. мы можем взять

и после этого будем иметь

а уравнение (71) примет вид

Проделывая, например, это с уравнением Гаусса (62), приведем его к виду

Перейдем теперь к установлению некоторой общей формулы для гипергеометрического ряда. Дифференцируя ряд (64) n раз, получим

или

т. е. производная порядка от гипергеометрического ряда (64) лишь постоянным множителем отличается от гипергеометрического ряда с параметрами . Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (75), если в нем заменить на , т. е.

Дифференцируя это тождество раз, получим новое тождество

Напишем это тождество для значений и перемножим почленно полученные таким путем тождества. Левая и правая части полученного соотношения будут содержать одинаковые множители, и после сокращения мы придем к искомому тождеству

Напомним, что в этом тождестве буква обозначает гипергеометрический ряд (64).

Заметим, вообще, что гипергеометрический ряд обрывается и обращается в полином, если а или , которые входят в гипергеометрический ряд симметрично, равно целому отрицательному числу. Рассмотрим сейчас один частный случай, когда это имеет место, а именно возьмем гипергеометрический ряд

где k есть некоторое целое положительное число или нуль. Функции (78) будет просто полиномом степени и коэффициент при старшем члене в этом полиноме будет

Полагая в формуле (77) мы получим произведя очевидные сокращения, будем иметь

Введем теперь вместо z новую независимую переменную по формуле

При этом точки перейдут в . Обозначим

Подставляя (80) в (79), получим следующее выражение для полинома

Эти полиномы называются обычно полиномами Лежандра. В дальнейшем они нам встретятся при исследовании сферических функций.

Выясним сейчас некоторые основные свойства полиномов Лежандра. Функция (79) удовлетворяет уравнению, которое получается из уравнения (75) заменой

т. е. функция (79) удовлетворяет уравнению

Совершая здесь замену независимого переменного по формуле (80), мы увидим, что полиномы Лежандра являются решениями уравнения

Напишем более общее уравнение вида

где — некоторый параметр. Это уравнение в особых точках имеет оба корня определяющего уравнения равными нулю. Это нетрудно проверить по виду уравнения, это также непосредственно следует и из того, что при условии (83) имеем

Таким образом, в точках будет один регулярный интеграл и один интеграл, содержащий логарифм, причем этот последний интеграл будет, например в точке иметь вид

где — ряды Тейлора со свободным членом. Из этого обстоятельства непосредственно вытекает, что интеграл, содержащий логарифм, будет во всяком случае обращаться в бесконечность в соответствующей точке. Заметим при этом, что в случае одинаковых корней определяющего уравнения коэффициент о котором мы упоминали в [100]. не может быть равен нулю, т. е. в случае одинаковых корней определяющего уравнения будет обязательно существовать решение, содержащее логарифм.

Вернемся к уравнению (85) и возьмем его решение регулярное в точке При аналитическом продолжении этого решения вдоль отрезка придем к решению, которое будет, вообще говоря, логарифмическим в точке и будет обращаться там в бесконечность. Но при исключительных значениях параметра , входящего в уравнение (85), интеграл, регулярный в точке окажется регулярным и в точке т. е. мы будем иметь решение уравнения (85), конечное на всем отрезке включая и его концы. Такими исключительными значениями будут значения

при которых уравнение (85) имеет решение в виде Можно показать, на чем мы не останавливаемся, что значения (86) исчерпывают все значения параметра X, при которых уравнение (85) имеет решение, конечное на отрезке включая его концы.

Выясним еще некоторые свойства полиномов Лежандра. Напишем уравнение для двух различных полиномов Лежандра:

Умножая первое из этих уравнений на второе — на вычитая и интегрируя по промежутку (- 1, 1), получим

Интегрируя первое слагаемое справа по частям, получим

или

Точно так же

Таким образом, получаем

или

т. е. полиномы Лежандра обладают свойством ортогональности на промежутке . Если бы мы стали вычислять интеграл от квадрата полинома Лежандра

то оказалось бы, что он отличен от единицы, т. е. полиномы Лежандра образуют ортогональную, но не нормированную систему функций.

Принимая во внимание (82), можем написать, пользуясь формулой Лейбница:

Имеем, очевидно,

откуда непосредственно следуют равенства

Вычислим интеграл Пользуясь формулой (82), можно написать

Интегрируя по частям, получим

Полином имеет корни кратности Дифференцируя его раз, получим полином, который также имеет корни (первой кратности). Следовательно, внеинтегральный член в предыдущей формуле обращается в нуль. Продолжая и дальше интегрирование по частям, мы будем иметь каждый раз внеинтегральный член, равный нулю, и придем к формуле

Мы имеем, далее,

и, следовательно,

Вводя , получим

т. е.

и предыдущая формула окончательно дает

Пользуясь выражением (82) и применяя теорему Ролля, нетрудно показать, что все корни полинома различны и находятся внутри промежутка действительно, полином — степени () имеет корни кратности и по теореме Ролля имеет еще один корень внутри промежутка . Этим и исчерпываются все его корни. Затем полином степени имеет корни кратности () и, кроме того, по теореме Ролля имеет два вещественных корня: один внутри промежутка и другой — внутри промежутка . Продолжая так и дальше, мы увидим, что имеет различных корней внутри промежутка (- 1, 1).