2. Производная.

Выше мы видели, что функция согласно формуле (3) определяется двумя вещественными функциями и непрерывность равносильна непрерывности Выбор их при построении остается произвольным без дополнительных требований на Основой той теории, которую мы будем излагать в дальнейшем, является требование, чтобы имела производную по комплексной независимой переменной z. Это требование наложит некоторые связи на и из них будут следовать свойства этих функций. Положим, что определена в некоторой точке z и во всех точках, достаточно близких к . Производная в точке z определяется, как мы уже упоминали, как предел отношения

причем этот предел должен быть конечным и одним и тем же при любом законе стремления комплексного приращения к нулю. Точнее говоря при любом заданном числе существует такое число , что

Нетрудно показать, как и в случае вещественного переменного, что справедливы обычные теоремы о производной суммы, произведения и частного [I, 47]. Применяя формулу бинома Ньютона, получим при целом положительном

Из сказанного следует существование производной у любого полинома от , а у рациональной дроби — везде, кроме тех значений, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Имеет место обычное правило дифференцирования сложных функций:

Точную формулировку для этого правила мы приведем в [5]. Ниже мы выразим через частные производные функций

Положим, что функция определена внутри некоторой области В и имеет в каждой точке внутри В производную. При этом просто говорят, что имеет производную внутри области В. Эта производная будет также однозначной функцией внутри В.

Введем новое важное определение. Будем говорить, что регулярна, или голоморфнау внутри В, если она однозначна внутри В и имеет внутри В непрерывную производную Заметим прежде всего, что из существования производной вытекает и непрерывность внутри В. Иногда говорят, что регулярна (или голоморфна) в точке . Это значит, что регулярна внутри некоторой области, содержащей точку внутри себя.

Обратимся к формуле (3), в которой отделены вещественная и мнимая части как у z, так и у функции и поставим следующий вопрос: каким условиям должны удовлетворять функции для того, чтобы была регулярной внутри области В. Положим сначала, что регулярна внутри В и выведем отсюда следствия, касающиеся

Как уже упоминалось выше, при определении производной, существование которой предполагается, можно стремить приращение независимого переменного к нулю любым образом.

Отметим внутри В некоторую точку М с координатой и переменную точку N с координатой причем N стремится к .

Возьмем два частных способа стремления N к М, т. е. стремления к нулю.

При первом способе будем считать, что N стремится к Ж, оставаясь на прямой, параллельной оси т. е. при первом способе будем иметь

а при втором способе будем считать, что стремится к М, оставаясь на прямой, параллельной оси Y, и при этом будем иметь

Составим производную для обоих этих случаев. В общем случае мы имеем

Отсюда при первом способе стремления N к М получим

Мы видим, таким образом, что вещественная и мнимая части в правой части равенства должны иметь предел, т. е. функции и должны иметь частные производные по х, причем имеет место формула

Точно так же при втором способе стремления N к М будем иметь согласно (8) и (9)

или

Сравнивая выражения (10) и (11) для , получаем условия, которым должны удовлетворять частные производные :

Заметим еще, что из непрерывности вытекает, на основании (10) и (11), непрерывность частных производных первого порядка функций . Предыдущие рассуждения приводят нас к следующему результату. Для того чтобы f(z) была регулярна внутри By необходимо выполнение следующих условий: должны иметь внутри В непрерывные частные производные первого порядка по и эти производные должны удовлетворять соотношениям (12).

Покажем теперь, что эти условия не только необходимы, но и достаточны для регулярности внутри В. Итак, будем считать, что высказанные условия выполнены, и докажем существование непрерывной производной Принимая во внимание непрерывность частных производных от по можем написать [I, 68]

где стремятся к нулю одновременно с Составляя при помощи последних выражений приращение функции и подставляя его в отношение (4), будем иметь

откуда, пользуясь условиями (12), можем переписать это отношение в виде

где

стремятся к нулю одновременно с

Нетрудно видеть, что последние два слагаемых справа также стремятся к нулю: Действительно, например,

и первый множитель стремится к нулю, а второй не превосходит единицы. Таким образом, предыдущая формула переписывается в виде

где стремится к нулю одновременно с , а первые два слагаемых в правой части вовсе не зависят от

Таким образом, отношение (4) стремится к определенному пределу, определяемому формулой (10). Итак, указанные выше условия для необходимы и достаточны для регулярности внутри В. Уравнения (12) называются обычно уравнениями Коши—Римана.

Напомним, что мы уже встречались с этими уравнениями, а именно таким двум уравнениям должны удовлетворять потенциал скорости и функция тока при установившемся плоском течении идеальной несжимаемой жидкости [II, 74]. Таким образом, основные уравнения теории функций комплексного переменного (12) являются в то же время и основными уравнениями при исследовании упомянутого только что случая задач гидродинамики. На этом факте основаны многочисленные применения теории функций комплексного переменного к гидродинамике, о чем мы будем говорить в следующей главе.

Отметим теперь одно важное обстоятельство, вытекающее из уравнений (12). Мы увидим в дальнейшем, что в случае регулярной функции имеют производные всех порядков. Дифференцируя первое из уравнений (12) почленно по второе по у и складывая, получим

Точно так же из уравнений (12) нетрудно вывести

Отсюда видно, что вещественная и мнимая части регулярной функции должны удовлетворять уравнению Лапласа, т. е. должны быть гармоническими функциями. В следующей главе мы так же подробно исследуем эту связь теории функций комплексного переменного с уравнением Лапласа.

Отметим еще одно важное обстоятельство, вытекающее из уравнений (13), а именно мы можем конструировать регулярную функцию, задавая произвольным образом ее вещественную часть, т. е. принимая за любое решение уравнения Покажем, что при этом определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Действительно, из уравнений (12) имеем

откуда

Остается проверить, что написанный криволинейный интеграл не зависит от пути и дает некоторую функцию своего верхнего предела [II, 71]. Напомним, что условия независимости криволинейного интеграла

от пути могут быть написаны следующим образом:

Применяя это к интегралу (14), получим

а это по условию выполнено, так как за мы взяли некоторую гармоническую функцию. Напомним, что если однозначна, то может оказаться и многозначной, если область, в которой мы применяем формулу (14), многосвязна [II, 72].

Обратимся теперь к некоторым примерам. Полином есть очевидно регулярная функция на всей плоскости z. Рациональная дробь есть регулярная функция внутри всякой области, не содержащей корней ее знаменателя. Если возьмем, например, то Нетрудно проверить, что эти функции удовлетворяют соотношениям (12).

Покажем теперь, что показательная функция

регулярна на всей плоскости. В данном случае

откуда непосредственно следует

Эти частные производные непрерывны и удовлетворяют соотношениям (12). Вычисляем производную по формуле (10):

Мы получили то же правило дифференцирования показательной функции, что и для вещественного переменного. Теперь нетрудно показать, что имеют также непрерывные производные на всей плоскости z. Эти производные вычисляются по тем же правилам, что и для вещественного переменного.

Действительно, при меняя правила дифференцирования показательной и сложной функций, получим