107. Конформное преобразование и уравнение Гаусса.

Переходим теперь к выяснению связи уравнения Гаусса с некоторой эадачей конформного преобразования, причем, как и в предыдущем параграфе, мы считаем параметры и вещественными. Докажем прежде всего, что решение уравнения Гаусса (62) не может иметь кратных корней на плоскости комплексного переменного вне

особых точек. Действительно, если в некоторой точке имеется корень выше первой кратности, т. е. если

то из самого уравнения (62) вытекает, что . Дифференцируя уравнение (62) и полагая затем мы получим и т. д. Но аналитическая функция, у которой все производные в некоторой точке равны нулю, как известно, равна нулю тождественно, а мы понимали под w, очевидно, решение, отличное от нуля. Приведенное доказательство годится и для любого линейного уравнения второго порядка с аналитическими коэффициентами. Полученный результат вытекает также непосредственно из теоремы существования и единственности [97].

Рассмотрим теперь частное двух интегралов уравнения Гаусса

Эта функция при аналитическом продолжении может иметь особыми точками лишь точки , а также те значения которые являются корнями решения . Эти значения будут простыми полюсами функции (107). Если то можно утверждать, что . Действительно, если бы мы имели

то наши два решения определялись бы начальными условиями вида

и мы имели бы, согласно теореме существования и единственности,

т. е. решения были бы линейно зависимыми, а мы считаем, что в формуле (107) числитель и знаменатель суть линейно независимые решения.

Рассмотрим верхнюю полуплоскость комплексного переменного z. В этой односвязной области В аналитические функции не имеют особых точек при аналитическом продолжении и, следовательно, являются однозначными регулярными функциями . Функция (107) также будет однозначной в верхней полуплоскости и может там иметь особыми точками лишь простые полюсы. Покажем теперь, что производная от функции (107) не может обращаться в нуль вне особых точек. Как известно [II, 24], мы имеем для этой производной следующее выражение:

где С — некоторая постоянная и - коэффициент при в уравнении (62).

Из формулы (108) и вытекает непосредственно наше утверждение. Принимая во внимание, что в простом полюсе конформность не нарушается, мы можем утверждать, что функция (107) дает некоторое конформное преобразование области В в некоторую новую область не содержащую внутри себя точек разветвления. Определим теперь контур новой области

При приближении точки из верхней полуплоскости к некоторой точке вещественной оси, отличной от особых точек 0, 1 и функция (107) стремится к определенному пределу и — больше того — даже остается регулярной и в самой точке и она будет регулярной внутри каждого из трех отрезков

вещественной оси. Покажем теперь, что функция (107) стремится к определенному пределу и при стремлении z к одной из особых точек. Для примера рассмотрим лишь точку

Предварительно выясним одно общее обстоятельство, которое будет играть роль в дальнейшем. Положим, что вместо мы взяли какие-нибудь два других независимых решения уравнения Они выражаются через прежние решения линейным образом:

где

Составим новую функцию пользуясь новыми решениями

или

т. е. при различном выборе независимых решений в формуле (107) соответствующие функции будут связаны друг с другом просто дробно-линейным преобразованием с определителем, отличным от нуля.

Перейдем теперь к исследованию функции (107) в окрестности точки Выберем независимые решения следующим образом:

при этом

Последнюю формулу надо понимать следующим образом: в окрестности функция определяется по формуле (111), а дальше на всей полуплоскости В она определяется вполне однозначно при помощи аналитического продолжения. Из формулы (111) непосредственно следует, что, например,

При всяком другом выборе независимых решений новое будет выражаться через (111) дробно-линейным образом и, следовательно, тоже будет иметь определенный предел при .

Покажем теперь, что функция (107) преобразует отрезки (109) вещественной оси в дуги окружности. Действительно, рассмотрим, например, отрезок (0, 1) и возьмем внутри него некоторую точку Определим решения по их начальным условиям в точке причем возьмем эти условия так, чтобы выражались вещественными числами. Принимая во внимание, что коэффициенты уравнения Гаусса также вещественны, получим для в окрестности точки ряды Тэйлора с вещественными коэффициентами. Аналитическое продолжение этих решений вдоль отрезка (0, 1) также будет приводить, очевидно, к вещественным рядам Тэйлора, т. е., иными словами, при таком выборе решений функция будет принимать вещественные значения на отрезке (0, 1), т. е. будет преобразовывать этот отрезок также в некоторый отрезок вещественной оси. При всяком другом выборе решений новая функция получится из прежней дробно-линейным преобразованием, а такое преобразование переводит отрезок вещественной оси в дугу окружности. Таким образом, действительно, функция (107) преобразует каждый из отрезков (109) в некоторую дугу окружности (или отрезок прямой).

Возьмем опять тот случай, когда основные решения вещественны на отрезке (0, 1). Применяя формулу (108) к этому отрезку, мы видим, что производная от функции на этом отрезке сохраняет неизменный знак, т. е. функция есть монотонная функция переменного <г на упомянутом отрезке. Иначе говоря, если точка z пробегает отрезок (0, 1) в определенном направлении, то точка двигается по соответствующему отрезку все время в одном и том же направлении. Заметим при этом, что точка может проходить и через бесконечность так, что отрезок, описываемый точкой может быть и бесконечным. Кроме того, в некоторых случаях этот отрезок может и налегать сам на себя. В общем случае, при любом выборе независимых решений в формуле (107), при движении точки <г вдоль отрезка (0, 1) в определенном направлении точка будет двигаться по дуге окружности все время в одном и том же направлении и отрезку (0, 1) может в некоторых

случаях соответствовать не часть окружности, а полная окружность, налегающая сама на себя.

Из всех предыдущих рассуждений вытекает следующий результат: функция (107), т. е. частное двух независимых решений уравнения Гаусса, преобразует верхнюю полуплоскость конформно в область, ограниченную тремя дугами окружностей, или, иначе говоря у в круговой треугольник, не имеющий внутри точек разветвления. Определим теперь углы этого кругового треугольника. Возьмем ту вершину А треугольника, которая соответствует точке z = 0. Выберем основные решения по формуле (110), причем будем считать Обратимся к формуле (111). В окрестности точки мы будем иметь 0 при считая Обойдя точку по верхней полуплоскости, мы получим и, следовательно, и дробь формулы (111) при , близком к нулю, будет вещественна и близка к единице. Таким образом, считая получим на плоскости две прямые, одна из которых идет из начала в направлении положительной части вещественной оси, а другая наклонена к этому направлению под углом . Если , то мы могли бы взять вместо отношения (111) обратное отношение. Таким образом, при сделанном выборе основных решений мы получаем в нашем круговом треугольнике угол при вершине, соответствующей точке . При всяком другом выборе основных решений будем иметь новый треугольник, который получается из прежнего дробно-линейным преобразованием, а такое преобразование, как известно, не меняет углов, и, следовательно, в общем случае мы получим при вершине А угол, по величине равный Точно так же в остальных двух вершинах кругового треугольника, соответствующих точкам будем иметь углы, по величине равные Направление отсчета углов, как всегда в конформном преобразовании, определяется из того факта, что при движении точки по вещественной оси в. положительном направлении точка двигается по онтуру кругового треугольника так, что этот треугольник расположен слева от двигающегося наблюдателя.

Предыдущий результат можно формулировать следующим образом: величина угла треугольника плоскости равна произведению к на абсолютное значение разности корней определяющего уравнения в соответствующей особой точке уравнения (62). Заметим, не приводя доказательства, что это свойство имеет место и тогда, когда эта разность равна нулю (дуги окружностей касаются) или целому числу.

Можно показать, что и, наоборот, всякий круговой треугольник, хотя бы и многолистный, но не имеющий внутри и на сторонах точек разветвления, может быть получен из верхней полуплоскости при помощи конформного преобразования, совершаемого частным

двух интегралов уравнения Гаусса при соответствующем подборе параметров . В частности, можно брать обычный прямолинейный треугольник, который является частным случаем треугольника, ограниченного дугами окружности. В этом частном случае мы можем выразить функцию, совершающую конформное преобразование, интегралом Кристоффеля [38].