183. Формулы сложения.

Рассмотрим три функции переменного где - произвольное фиксированное число. Пользуясь таблицей (133), нетрудно убедиться, что все эти функции имеют периоды

Функция имеет простые полюсы там, где или имеют полюсы. Пользуясь таблицей (134), мы видим, что это будут точки, которые отличаются от или на период, т. е. на выражение вида где — любые целые числа. В основном параллелограмме периодов, построенном на векторах таких точек, следовательно, будет только две. Тот же результат получится и для остальных функций т. е. все эти функции суть эллиптические функции второго периода с периодами и с двумя простыми полюсами в параллелограмме периодов, из которых один равен Можно подобрать постоянные А и В так, чтобы две функции

уже не имели полюса . При таком выборе постоянных функции (139) будут иметь в параллелограмме периодов только один полюс первого порядка, откуда непосредственно следует, что эти функции будут просто постоянными, так как не существует эллиптических функций первого порядка [169]. Таким образом, можно утверждать, что при определенном выборе постоянных А и Б имеют место соотношения

Постоянные являются постоянными в отношении аргумента и, но их величина зависит от выбора v. Приступим к определению этих постоянных. Полагая в формулах мы непосредственно получим

Дифференцируя соотношения (140) и полагая затем будем иметь в силу (135), (136) и (132)

откуда опять-таки в силу (136)

Подставляя в формулу (140) значения постоянных, получаем окончательно следующие два соотношения:

которые мы можем считать тождествами относительно и и и Заменяя и на и v на , получим отсюда

Из последних двух формул мы можем найтп а подставляя в первое из равенств (141), получаем Это приводит нас к следующим формулам сложения, выражающим значение функций Якоби от суммы двух аргументов через значение функций Якоби от отдельных аргументов:

Первые две из написанных формул напоминают формулы сложения для обычных тригонометрических функций — синуса и косинуса. Эти последние функции действительно оказываются вырождением для функции Якоби при Действительно, если в интеграле (138) положим то его обращение даст нам , а из формул (126) и (132) вытекает, что превратится в Наконец, вторая из формул (126) показывает, что при функция вырождается просто в единицу, а потому не имеет своего аналога среди тригонометрических функций.