Функция имеет простые полюсы там, где или имеют полюсы. Пользуясь таблицей (134), мы видим, что это будут точки, которые отличаются от или на период, т. е. на выражение вида где — любые целые числа. В основном параллелограмме периодов, построенном на векторах таких точек, следовательно, будет только две. Тот же результат получится и для остальных функций т. е. все эти функции суть эллиптические функции второго периода с периодами и с двумя простыми полюсами в параллелограмме периодов, из которых один равен Можно подобрать постоянные А и В так, чтобы две функции
уже не имели полюса . При таком выборе постоянных функции (139) будут иметь в параллелограмме периодов только один полюс первого порядка, откуда непосредственно следует, что эти функции будут просто постоянными, так как не существует эллиптических функций первого порядка [169]. Таким образом, можно утверждать, что при определенном выборе постоянных А и Б имеют место соотношения
Постоянные являются постоянными в отношении аргумента и, но их величина зависит от выбора v. Приступим к определению этих постоянных. Полагая в формулах мы непосредственно получим
Дифференцируя соотношения (140) и полагая затем будем иметь в силу (135), (136) и (132)
откуда опять-таки в силу (136)
Подставляя в формулу (140) значения постоянных, получаем окончательно следующие два соотношения:
которые мы можем считать тождествами относительно и и и Заменяя и на и v на , получим отсюда