145. Соотношения между функциями Бесселя.

Выведем теперь некоторые основные соотношения, которыми связаны функции Бесселя с различными значками. Производя дифференцирование степенного ряда (7), получим

или, заменяя переменную суммирования k на и начиная суммировать с

или

Мы получаем, таким образом, сравнивая с (7), следующую формулу:

Производя дифференцирование дроби, можно переписать эту формулу в таком виде:

Разделим обе части формулы (9) на

Написанное соотношение можно формулировать словами следующим образом: дифференцирование дроби с последующим делением на z равносильно увеличению на единицу и изменению знака у упомянутой дроби.

Применяя это правило несколько раз, получаем следующую формулу, справедливую при любом целом положительном :

Формулу эту можно еще переписать следующим образом:

Продифференцируем теперь произведение

или, принимая во внимание, что получим

т. e., в силу (7), приходим к формуле, аналогичной формуле (9):

Дифференцируя произведение, можем переписать эту формулу следующим образом:

Разделим обе части формулы (13) на z:

Применяя несколько раз эту формулу, приходим к формуле, аналогичной (11):

или

В формулах (11) и (15) мы пользовались следующим обозначением:

где число дифференцирований с последующим делением на z равно .

Сопоставляя формулы (10) и (14), получаем соотношение между тремя последовательными функциями Бесселя

или

Пользуясь предыдущими формулами, покажем теперь, что функции Бесселя, значок которых равен половине целого нечетного числа, т. е. имеет вид , где — целое число, выражаются через элементарные функции. Применим для этого формулу (7) к случаю

Применяя несколько раз основное свойство функций будем иметь

и, таким образом, получим

т. е.

Применяя теперь формулу (11), будем иметь при любом целом положительном

Аналогичные результаты получаются и для отрицательных значков. Формула (7) при дает

и, применяя затем формулу (15), получим при любом целом положительном

Мы выписали выше [II, 48] в раскрытом виде выражение бесселевых функций для значков .