100. Окрестность особой точки.

Исследуем теперь поведение решения в окрестности особой точки коэффициентов Положим, что точка является полюсом или существенно особой точкой для коэффициентов так что эти коэффициенты представляются рядами Лорана в некотором кольце К с центром и внутренним радиусом, равным нулю:

Всякое решение уравнения (1) может быть любым образом аналитически продолжено внутри кольца и при обходе точки решение w может приходить уже к новым значениям, т. е. точка будет, вообще говоря, точкой разветвления для решения w. Выясним более подробно характер этой точки разветвления. Возьмем какие-нибудь два линейно независимых решения уравнения и w Если в кольце проведем разрез от центра вдоль какого-нибудь радиуса, то в полученной таким образом односвязной области наши решения и будут регулярными однозначными функциями, но на противоположных берегах разреза эти функции будут принимать различные значения. Иначе говоря, после обхода точки функции превратятся в некоторые новые функции и . Эти новые функции также должны быть решениями уравнения, а следовательно, они должны выражаться линейно через и w. Таким образом, должны иметь место формулы вида

где — некоторые постоянные. Иначе говоря, при обходе вокруг особой точки линейно независимые решения испытывают некоторое линейное преобразование. Нетрудно видеть, что

Действительно, если бы мы имели то решения отличались бы лишь постоянным множителем и были бы

линейно зависимыми, но этого не может быть, так как мы раньше видели, что аналитическое продолжение линейно независимых решений приводит также к линейно независимым решениям. Вид линейного преобразования (19) зависит, конечно, от выбора решений

Постараемся построить такое решение, которое при обходе особой точки получает лишь некоторый постоянный множитель, т. е. которого линейное преобразование имеет наиболее простой вид:

Такое решение, если оно существует, должно быть линейной комбинаций решений и

и нам надо найти коэффициенты и В силу (21) мы должны иметь

откуда в силу (19) получаем

Сравнивая коэффициенты при линейно независимых решениях, получим систему однородных уравнений для

Для того чтобы получить для решение, отличное от нулевого, мы должны приравнять нулю определитель написанной системы:

Это есть квадратное уравнение для X. Взяв некоторый корень этого уравнения и подставляя его значение в коэффициенты системы (22), мы сможем найти для и решение, отличное от нулевого. Таким образом, корни уравнения (23) дают возможные значения множителя X в формуле (21), т. е. эти корни равны числам, обладающим тем свойством, что существует решение уравнения (1), которое в результате обхода особой точки в положительном направлении умножается на упомянутое число. Если возьмем за исходные другие линейно независимые решения, то линейное преобразование (19) будет уже другим, но корни уравнения (23) должны остаться прежними, так как эти корни имеют вполне определенный указанный выше смысл, не связанный с выбором основных решений.

Приведем чисто алгебраическое доказательство сказанного. Если вместо и мы рассмотрим другие линейно независимые решения:

где определитель матрицы должен быть отличен от нуля, то вместо (19) получим

где матрица подобна

а подобные матрицы имеют одинаковые характеристические уравнения.

Разберем сначала тот случай, когда квадратное уравнение имеет два различных корня

Мы имеем при этом два решения, удовлетворяющих условиям

Эти два решения будут обязательно линейно независимы. Действительно, в противном случае отношение — было бы постоянной величиной и не менялось бы при обходе особой точки, а в силу (24) это отношение приобретает множитель при обходе особой точки.

Заметим еще, что в силу (20) числа и Х наверно отличны от нуля. Введем два числа

где значения логарифмов берутся произвольными. Составим две функции:

При обходе особой точки они приобретают множители

Таким образом, отношения

при обходе особой точки будут оставаться однозначными, т. е. эти отношения будут регулярными и однозначными функциями в окрестности

точки и, следовательно, в этой окрестности они будут представляться рядами Лорана. Таким образом, для построенных решений мы имеем следующие представления в окрестности особой точки:

Заметим, что определен лишь с точностью до слагаемого вида где — любое целое число. Таким образом, в силу (25) числа определены с точностью до слагаемых, которые должны целыми числами. Это вполне согласуется и с формулами (26), ибо, умножая ряд Лорана на где — любое целое число, мы получаем опять некоторый ряд Лорана, и, таким образом, показатели и в формулах (26) определены лишь с точностью до целого слагаемого.

Рассмотрим теперь тот случай, когда корни уравнения (23) одинаковы, т. е. когда Мы можем при этом построить, как и выше, одно решение уравнения, удовлетворяющее условию

Возьмем какое-нибудь второе решение линейно независимое от При обходе особой точки оно испытывает линейное преобразование вида

Квадратное уравнение (23) для построенных решений будет

Оно по условию должно иметь двойной корень откуда непосредственно следует, что т. е. что формула (28) должна иметь вид

В силу (27) и (29) отношение при обходе особой точки приобретает лишь постоянное слагаемое

и, следовательно, разность

при обходе особой точки будет однозначной и будет изображаться рядом Лорана. Таким образом, принимая во внимание, что имеет вид (26) и что произведение ряда Лорана на имеет тот же вид, что и мы видим, что в данном случае наши решения будут иметь вблизи особой точки представление вида

Мы получаем, таким образом, следующую теорему:

Теорема III. Если есть полюс или существенно особая точка для коэффициентов то существуют два линейно независимых решения, которые вблизи этой точки представляются в виде (26) или (30). Заметим, что во втором случае, когда корни уравнения (23) одинаковы, может все же оказаться, что постоянная и связанная с ней постоянная

будут равны нулю, и тогда будем иметь вблизи этой точки формулы (26).

Все предыдущее относилось к тому случаю, когда точка находится на конечном расстоянии. Для исследования бесконечно далекой точки плоскости мы должны вместо z ввести новую независимую переменную t по формуле

Заменяя дифференцирование по z дифференцированием по будем иметь

и уравнение (1) с новой независимой переменной будет иметь вид

Для этого нового уравнения прежняя бесконечно далекая точка превратится в точку и мы должны будем исследовать по предыдущей схеме окрестность этой точки.

Заметим, что все предыдущие рассуждения носили чисто теоретический характер. На самом деле они не дают никакого практического способа построения квадратного уравнения (23) и нахождения

коэффициентов в разложениях (26) и (30). Мы переходим сейчас к исследованию этого практического вопроса нахождения чисел и коэффициентов разложения в формулах (26) или (30). Мы можем это сделать только в одном случае, а именно тогда, когда разложения в этих формулах содержат лишь конечное число членов с отрицательными степенями.

В этом случае особая точка называется регулярной особой точкой, т. е. полюс или существенно особая точка коэффициентов уравнения (1) называется регулярной особой точкой этого уравнения, если разложения Лорана (26) или (30) содержат лишь конечное число членов с отрицательными степенями. Изменяя на целое число, мы всегда можем, в случае регулярной особой точки, достигнуть того, чтобы степенные ряды в формулах (26) или (30) вовсе не содержали членов с отрицательными степенями и начинались со свободного члена, т. е., например, вместо (26) в случае регулярной особой точки мы можем написать

В других случаях, когда хоть одно из разложений в формулах: (26) или (30) содержит бесчисленное множество членов с отрицательными степенями, особая точка называется иррегулярной. Мы» должны будем прежде всего указать критерий, согласно которому могли, бы судить по коэффициентам уравнения о том — будет ли. особая точка регулярной или иррегулярной.