22. Теоремы о числе корней.

Положим, что регулярна в замкнутой области В с контуром l и на контуре не обращается в нуль. Пусть внутри области она имеет корни кратности Ее логарифмическая производная будет иметь в этих точках простые полюсы с вычетом и теорема вычетов дает нам

Если считать всякий кратный корень столько раз, сколько единиц в его кратности, то стоящая справа сумма дает общее число корней нашей функции внутри области, т. е. при наших предположениях относительно функции интеграл, стоящий слева, дает число корней функции, заключающихся внутри контура

Подинтегральная функция в этом интеграле имеет, очевидно, первообразную функцию и мы получим величину интеграла, определив приращение этой первообразной функции, которое она получает при обходе контура При этом нужно рассматривать однозначную ветвь этой функции, что сводится, как мы знаем, к тому, чтобы при обходе контура l следить за непрерывным изменением аргумента причем

После обхода контура вернется к прежнему значению и никакого приращения не получит, и, следовательно, общее приращение нашей первообразной функции будет равно произведению на приращение, получаемое аргументом . Согласно формуле (120), мы должны еще разделить приращение первообразной функции на и получаем окончательно следующий результат:

Теорема Коши. Если регулярна в замкнутой области В и отлична от нуля на контуре l этой области, то число корней этой функции внутри области равно изменению аргумента функции при обходе контура, деленному на или, иначе говоря, равно упомянутому изменению аргумента, выраженному в долях

Доказанная теорема представляется совершенно очевидной для случая полиномов.

Возьмем для примера полином третьей степени и представим его в виде, разложенном на множители первой степени:

Положим, что корни и находятся внутри контура а корень вне этого контура Всякой разности соответствует вектор, идущий из в z. При обходе точкой z контура l аргументы векторов получат, очевидно, приращение а аргумент вектора () не изменится. Таким образом, общее приращение аргумента для функции будет (аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей), или в долях это приращение будет равно 2, т. е. как раз числу корней внутри

Установим еще одну теорему, касающуюся числа корней регулярной функции и являющуюся непосредственным следствием теоремы Коши. Пусть, как и раньше, регулярна в замкнутой области и на контуре отлична от нуля. Положим, что имеется еще функция регулярная в замкнутой области, значение которой на контуре по модулю меньше значений , т. е.

Заметим, что при наличии этого условия не может, очевидно, обращаться в нуль на . Будем рассматривать две функции:

Обе они удовлетворяют условиям теоремы Коши. Для первой из них это уже указано, а что касается второй, то она не может на контуре обращаться в нуль в силу условия (121). Покажем, что вторая из функций (122) имеет внутри контура столько же корней, сколько и первая. Для этого рассмотрим аргумент этой функции на контуре, причем будем помнить, что на этом контуре :

Для доказательства нашего утверждения достаточно показать, что при обходе контура l изменение аргумента

будет равно нулю. Согласно условию (121), на контуре l дробь будет по модулю меньше единицы, и, следовательно, при обходе контура l переменная точка

будет все время заключаться внутри окружности С с центром в точке и радиусом единица. Эта переменная точка опишет некоторую замкнутую кривую, находящуюся внутри окружности С и не обходящую, очевидно, вокруг начала координат.

Мы видим таким образом, что, действительно, изменение аргумента выражения (123) будет равно нулю.

Теорема Руше. Если регулярна в замкнутой области с контуром l и также регулярна в замкнутой области и на контуре l удовлетворяет условию (121), то функции имеют внутри области одинаковое число корней.

Заметим, что из этой теоремы Руше непосредственно вытекает основная теорема алгебры о том, что всякий полином степени

имеет на плоскости ровно корней. Действительно, положим в данном случае На всякой окружности с центром в начале и с достаточно большим радиусом мы будем иметь, очевидно, так как степень полинома ниже степени полинома . В силу теоремы Руше полином (124) будет иметь внутри такой окружности столько же корней, сколько их имеется у полинома а последний полином имеет в начале корень кратности .

Рис. 20.

Укажем еще на одно следствие теоремы Коши, которое играет важную роль в теории конформного преобразования. Положим, что функция

регулярна в замкнутой области и при обходе точкой z контура точка w описывает простой замкнутый контур который не пересекает сам себя (рис. 20). Покажем, что при таком условии функция (125) преобразует исходную область В в область ограниченную контуром Возьмем некоторую точку внутри контура и некоторую точку вне контура Нам надо показать, что функция

имеет внутри области В один корень, а функция

ни одного корня. При обходе точкой z контура разности будет соответствовать вектор, идущий из точки в переменную точку w контура При этом мыслимы два случая: или точка w описывает контур 4 против часовой стрелки, или этот

обход совершается по часовой стрелке, причем точку z мы заставляем описывать контур l в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. В первом случае изменение аргумента функции будет, очевидно, равно , и, следовательно, эта функция будет действительно иметь один корень внутри l. Во втором случае мы полумили бы для изменения аргумента функции отрицательное число (), и вышло бы, что функция имеет внутри области минус один корень, что нелепо, ибо число корней должно быть равно нулю или целому положительному числу. Таким образом, второй случай встретиться не может, и при положительном обходе точкой z контура/и соответствующая точка w должна описывать тоже в положительном направлении. Обращаемся теперь к функции Соответствующий вектор, идущий из в переменную точку w контура при обходе этого контура не получит никакого приращения аргумента, и, следовательно, действительно функция не будет иметь корней внутри . Мы приходим, таким образом, к следующей теореме: если регулярна в замкнутой области В с контуром и преобразует l в простой замкнутый контур который не пересекает сам себя, то при положительном обходе контура контур также обходится в положительном направлении, и функция преобразует область В в часть плоскости, ограниченную контуром

Мы получили теорему Коши, рассматривая интеграл, стоящий в левой части формулы (120), в предположении, что регулярна в замкнутой области и на контуре отлична от нуля. Предположим теперь, что имеет внутри области конечное число полюсов, а в остальном регулярна и на контуре регулярна и отлична от нуля. При этом, как мы видели, подинтегральная функция будет иметь внутри области простые полюсы в корнях функции с вычетом, равным кратности корня, и в полюсах функции — с вычетом, равным минус кратность полюса. Применяя к интегралу основную теорему о вычетах, будем иметь в рассматриваемом случае вместо формулы (120)

где — общее число корней и — общее число полюсов нашей функции внутри области. Положим, что корни находятся в точках а полюсы — в точках , сп, причем кратные корни и полюсы считаются несколько раз. Нетрудно доказать, пользуясь основной теоремой вычетов, следующую формулу:

т. е. интеграл, стоящий слева, выражает разность между суммой координат корней и суммой координат полюсов.

Действительно, например в случае корня b кратности k мы имеем вблизи этой точки разложение

откуда непосредственно следует, что вычет в этой точке равен . Аналогично рассуждение и для полюса.

Сделаем в заключение некоторое добавление к предыдущей теореме о конформном преобразовании области в область. Пусть нам известно, что имеет внутри области В один простой полюс, т. е. в формуле и что переводит контур l в простой замкнутый контур, не пересекающий сам себя, но положительному обходу контура l соответствует отрицательный обход по контуру Обратимся вновь к рассмотрению функций Обе они имеют внутри области тот же простой полюс, что и Для первой из них изменение аргумента, выраженное в долях будет равно минус единице, но, с другой стороны, согласно формуле (126), это изменение аргумента должно давать разность между числом корней и числом полюсов, причем по условию функция имеет один полюс. Отсюда непосредственно следует, что функция не имеет ни одного корня. Наоборот, изменение аргумента функции при обходе точкой z контура l будет равно нулю, т. е. разность числа корней и полюсов у этой функции будет равна нулю. Но эта функция имеет один полюс, а следовательно, она имеет и один корень. Таким образом, в рассматриваемом случае функция преобразует часть плоскости, находящуюся внутри контура в часть плоскости, находящуюся вне контура причем полюс переходит в бесконечно далекую точку.