и поставим задачу об определении всех решений этого уравнения, не предполагая специально, что решения должны выражаться регулярной функцией X. В сводке результатов мы укажем, когда последнее обстоятельство будет иметь место. Все исследование проводится ниже лишь для матриц второго порядка.
В соответствии с теорией элементарных делителей для заданной матрицы X возможны следующие формы:
где 
— неособая матрица. Для искомой матрицы Y надо рассматривать следующие случаи:
Исследование этих случаев сравнительно просто, но довольно громоздко. Мы приведем окончательные результаты, не останавливаясь на их доказательстве.
I. Пусть X имеет различные собственные значения и 
Если хотя бы одно из уравнений
не имеет решений, то и матричное уравнение (79) не имеет решений. Если оба уравнения (82) разрешимы, то общее решение уравнения (79) имеет вид
где 
произвольные решения уравнений (82). Если 
, то формула (83) определяет регулярное (локально) решение У уравнения (79), т. е. решение, регулярное в окрестности X. включая X.
II. Пусть X имеет двукратное собственное значение 
но 
Если уравнение 
имеет решений или для всех его решений 
то уравнение (79) не имеет решений. Пусть уравнение 
имеет решение для которого 
При этом общее решение уравнения (79) имеет вид
где 
— любой из указанных выше корней. Формула определяет регулярное решение 
уравнения (79).
III. Пусть 
Если уравнение 
не имеет решений, то и уравнение (79) не имеет решений. Пусть указанное уравнение разрешимо и 
произвольные различные или совпадающие его решения. Общее
решение уравнения (79) определяется формулами
а в случае 
также и формулами
В этих формулах С — любая неособая матрица.
Рассмотрим два примера. Если 
, то 
и при все значения 
являются локально регулярными функциями, если собственные значения X отличны от нуля:
Ветви логарифмов выбираются произвольно, и этот выбор определяет ветвь матричного логарифма.
При 
все значения логарифма определяются формулами
где С — произвольная неособая матрица, а при 
получается регулярное значение
т. е. значение, совпадающее со значением некоторой определенной в окрестности матрицы 
регулярной ветви функции 
Эта ветвь определяется формулой Коши. Можно показать, что все значения (86) при 
не являются регулярными.
Совершенно аналогично для уравнения 
где 
целое число, получаем при 
следующие решения:
Поскольку 
то при 
кроме решения 
получаем
В правой части формулы (87) под 
подразумеваются любые значения корней.
Правая часть формулы (87) определена для матриц X из некоторой полной окрестности исходной матрицы и при 
является регулярной функцией матрицы X.
Значения (88) и (90) не определены в полной окрестности исходной матрицы, но они являются регулярными, т. е. совпадают со значением некоторой регулярной ветви функции 
, определенной в полной окрестности исходной матрицы.
Значения (89) не являются регулярными, т. е. не могут быть получены как значения некоторой регулярной ветви функции 
.
является решением уравнения (73). Аналогичным образом функция 
где 
целое число, является обращением уравнения 
Исследуем общую задачу. Пусть 
- целая функция комплексного переменного w и 
функция, определенная соотношением 
Для произвольной матрицы У определена матричная функция 
Рассмотрим матричное уравнение
