39. Частные случаи.

Начнем с наиболее простого случая треугольника. Пользуясь дробно-линейным преобразованием плоскости мы всегда можем привести задачу к тому случаю, когда вершинам треугольника соответствуют точки При этом мы должны воспользоваться формулой (47), полагая и получим таким образом формулу

В этом случае в нашей формуле остались лишь произвольные постоянные не играющие существенной роли и связанные с подобным преобразованием треугольника. Сравнительная простота формулы (49) соответствует тому факту, что всякие два треугольника с одинаковыми углами будут обязательно подобны один другому.

Рис. 41.

В случае четырехугольника это обстоятельство уже не будет иметь места, и в общей формуле для четырехугольника с заданными углами мы будем иметь под знаком интеграла неопределенный параметр, который зависит от длин сторон многоугольника.

Формула (49) применима и к случаю безграничного треугольника с углами и 0. Такой треугольник представляет собою, очевидно, полуполосу, ограниченную двумя параллельными полупрямыми и отрезком, перпендикулярным к ним (рис. 41).

Полагая в формуле (49) будем иметь

Остановимся еще подробно на случае прямоугольника. Положим, что вершины этого прямоугольника В имеют координаты (рис. 42):

где заданные вещественные положительные числа. Возьмем правую половину этого прямоугольника с вершинами

и положим, что она конформно отображена на правую половину верхней полуплоскости т. е. на ту половину верхней полуплоскости U точки которой имеют положительную вещественную часть. При этом мы можем считать, что вершинам и соответствуют точки 0, 1 и контура упомянутой правой части верхней полуплоскости.

Рис. 42.

При этом вершине будет соответствовать некоторая точка вещественной оси, лежащая между точками 1 и Обозначим эту точку через где . В силу принципа симметрии левой половине нашего прямоугольника будет соответствовать левая половина верхней полуплоскости t, причем вершинам — будут соответствовать точки Из предыдущих рассуждений непосредственно вытекает, что всегда можно таким образом нормировать наше конформное преобразование верхней полуплоскости в прямоугольник чтобы точкам соответствовали точки этом точкам соответствовать значения

Можно теперь применить к нашему случаю формулу (45), полагая

Мы получаем таким образом, принимая во внимание, что при формулу вида

или формулу вида

При значениях t, лежащих внутри отрезка вещественной оси, мы должны иметь отрезок вещественной оси в плоскости . Отсюда следует, что в формуле (50) мы можем считать А положительной постоянной и должны брать радикал равным единице при Дальнейшие значения этого радикала в верхней полуплоскости получатся единственным образом, так как этот радикал будет регулярной функцией в этой полуплоскости и не будет там иметь точек разветвления. Принимая во внимание, что вершинам и соответствуют значения мы получим следующие формулы:

Длины сторон нашего прямоугольника равны и и можно построить уравнение для определения параметра k, входящего под знак интеграла, зная отношение длин сторон нашего прямоугольника

Определив отсюда мы сможем найти А из одного из уравнений (51).

Интеграл, входящий в формулу (50), не выражается через элементарные функции и называется эллиптическим интегралом первого рода в форме Лежандра. Будем дальше заниматься такими интегралами и не будем сейчас разбирать подробнее вопрос об определении k из уравнения (52). Мы привели предыдущее рассуждение лишь для того, чтобы более отчетливо выяснить вопрос об определении постоянных в формуле Кристоффеля.

Рассмотрим еще один частный случай. Пусть на плоскости мы имеем правильный и пусть его центр (рис. 43 для n = 6). Возьмем конформное преобразование треугольника на сектор единичного круга с центральным углом так, чтобы вершинам треугольника отвечали центр круга и концы дуги .

Рис. 43.

Совершая отображение треугольника в его сторонах, мы, согласно принципу симметрии, будем иметь отображение сектора в соответствующих радиусах. Таким образом, при аналитическом продолжении функция отобразит весь правильный многоугольник в единичный круг. Из этих рассуждений непосредственно следует, что при отображении правильного многоугольника на единичный круг вершинам многоугольника соответствуют точки, делящие окружность единичного круга на равные части. Кроме того, в формуле (48) мы должны в данном случае считать

Поворачивая единичный круг вокруг начала, мы можем, конечно, считать, что вершине соответствует любая точка окружности например точка При этом остальные точки окружности, соответствующие вершинам многоугольника, будут так что подинтегральная функция формулы (48) в данном случае будет иметь вид

Считая, что центр многоугольника находится в начале координат, получаем следующую формулу преобразования единичного круга в правильный -угольник:

Модуль постоянной определяется из размеров многоугольника, а аргумент этой постоянной дает просто поворот многоугольника вокруг центра.