87. Степенные ряды от одной матрицы.

Степенной ряд одной матрицы имеет вид

где и — заданные числа, а - единичная матрица. Для простоты письма будем считать в дальнейшем, что Вместо ряда (27) будем иметь ряд

Согласно правилу умножения матриц имеем

и вообще

где суммирование производится по всем значкам независимо, от l до . Таким образом, элементы матрицы, которая представляется суммой ряда (28), будут выражаться рядами

где через мы обозначили число, которое определяется формулой

Последнее обстоятельство непосредственно вытекает из того, что свободный член ряда (28) есть , т. е. диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны Формула (29) показывает нам, что ряд (28) равносилен обычным степенным рядам особого вида относительно переменных Заметим, что при слагаемое суммы в формуле (29) имеет вид и внутренняя сумма исчезает.

Остановимся теперь на вопросе сходимости ряда (28). Займемся сначала абсолютной сходимостью, т. е. наряду с рядом (28) будем рассматривать также ряд вида

или ему соответствующие рядов

Если эти ряды сходятся, то ряды (29) и подавно сходятся, т. е. сходимость ряда (31) обеспечивает и сходимость ряда (28), и в этом случае ряд (28) мы назовем абсолютно сходящимся. Согласно определению матрицы имеем

т. е. выражение (32) получается из (29) заменой всех чисел их модулями.

Выясним теперь достаточное условие абсолютной сходимости ряда (28). Составим степенной ряд обычного комплексного переменного

и пусть радиус, сходимости этого ряда равен где — порядок наших матриц и — некоторое положительное число. Как известно, для коэффициентов ряда (33) имеем следующую оценку [14]:

где — любое малое фиксированное положительное число и М — некоторое положительное число, зависящее от выбора . Возьмем теперь матрицу где b — некоторое число, и определим ее целые положительные степени

и вообще

Будем теперь считать, что и возьмем некоторую матрицу удовлетворяющую условию При этом мы будем иметь, очевидно,

В силу оценки (34)

Если , то, взяв в достаточно малым, мы будем иметь

и при этом ряд (31) будет очевидно сходящимся, а ряд (28) абсолютно сходящимся. Если радиус сходимости ряда (33) равен бесконечности, то сумма этого ряда есть целая функция от z [67].

Из предыдущего вытекает, что в этом случае и ряд (28) будет абсолютно сходящимся для любой матрицы . Мы получаем, таким образом, следующую теорему:

Теорема. Если радиус сходимости ряда (33) равен , то ряд (28) абсолютно сходится для всех матриц, находящихся в окрестности начала

Если ряд (33) определяет целую функцию, то ряд (28) будет абсолютно сходиться для всех матриц (целая функция матрицы). Укажем примеры таких рядов:

где число — любое фиксированное значение логарифма числа а.

Вместо окрестности начала (36) можно рассматривать окрестность более общего вида

где А — матрица с положительными элементами, и легко показать что если ряд (28) сходится в области (37), то он сходится в этой области абсолютно.

Пусть имеются два степенных ряда, каждый из которых сходится при условии (36), и положим, что суммы этих рядов совпадают:

Тем самым мы имеем при равенство

Но отсюда следует т. e. мы имеем единственность разложения в степенной ряд вида (28).

Все сказанное выше будет справедливо и для рядов вида (27), но только везде надо заменить X на X — а, т. е. на Для рядов вида (27) или (28) характерным является тот факт, что они содержат числа и а и только одну матрицу X, которая коммутирует с любым числом , т. е. с матрицей . Отметим, что в связи с этим к выражению вида , где — целое положительное число, применима формула бинома Ньютона. Но она неприменима к выражению

вида где две некоммутирующие матрицы. В связи со сказанным выше к рядам от одной матрицы применимы операции, которые мы имели раньше для степенных рядов одной комплексной переменной.