76. Формула суммирования Эйлера.
Вернемся к рассмотрению формулы (159). Производя в последнем интеграле правой части несколько раз интегрирование по частям, мы можем написать правую часть в развернутом виде. При помощи формулы (161) мы определили функцию 
с периодом единица, такую, что 
Добавляя к 
постоянное слагаемое, мы можем добиться того, чтобы среднее значение этой функции, как и у 
было равно нулю. Меняя еще у полученной функции знак, получим функцию 
с периодом, равным единице, и со средним значением, равным нулю, такую, что 
Но 
при
и, определяя С из условия
получим окончательно
В данном случае 
при периодическом повторении 
дает непрерывную периодическую функцию, и написанная выше формула годится для всего замкнутого промежутка 
Далее мы можем совершенно так же определить функцию 
с периодом единица и со средним значением, равным нулю, такую, что 
Мы получим для этой функции следующее выражение в основном промежутке (0, 1):
Продолжая так и дальше, мы сможем строить функции 
с периодом единица и со средним значением, равным нулю, такие, что
Можно разложить все эти периодические функции в ряды Фурье; во всех этих рядах Фурье свободные члены будут равны нулю, ибо средние значения функций равны нулю. Из черт. 65 видно, что 
есть нечетная функция. Определяя ее коэффициенты Фурье по обычному правилу Фурье, получим
Точно так же для следующей функции 
будем иметь
Заметим, что этот ряд может быть получен непосредственно почленным интегрированием и переменой знака из ряда 
что соответствует соотношению 
Ряд для 
сходится равномерно при всех вещественных значениях 
Принимая во внимание соотношения (172), мы можем получить ряды Фурье для следующих функций 
при помощи последовательного почленного интегрирования, причем свободные члены этих рядов Фурье надо считать равными нулю.
Таким образом, мы будем иметь
Из этих формул вытекает, между прочим,
Для удобства дальнейших выкладок обозначим
где 
так называемые числа Бернулли.
Вернемся к формуле (159). Производя интегрирование по частям и принимая во внимание, что
получим
продолжая так и дальше, получаем формулу суммирования Эйлера:
При этих вычислениях мы предполагали, конечно, что 
при 
имеет непрерывные производные до порядка 
включительно.
Последнее слагаемое правой части дает остаточный член формулы Эйлера. Из формулы (174) легко заключить, что числа 
быстро растут при возрастании 
, и соответствующий формуле Эйлера бесконечный ряд обычно оказывается расходящимся. Все же формулой (175) иногда удобно пользоваться для приближенного вычисления суммы, стоящей в левой ее части.
Перепишем формулу (160), подставляя вместо С найденное выше ее значение:
Производя в интеграле, как и выше, интегрирование по частям, принимая во внимание, что 
остаются ограниченными при всех вещественных 
и формулы (174), будем иметь при 
Совершенно так же, как в предыдущем номере, мы можем показать, что последний интеграл, умноженный на 
остается ограниченным при z т. е. что
и предыдущую формулу можно записать в виде
Если мы, вычеркнув остаточный член, напишем соответствующий бесконечный ряд, то он окажется расходящимся при всяком 
. Если же мы фиксируем 
то остаточный член при 
будет величиной бесконечно малой более высокого порядка, а именно порядка чем последний из оставленных членов, который имеет порядок 
Формула (176), как и (169), годится на плоскости комплексного переменного 
, из которой вырезан любой, сколь угодно малый, но фиксированный сектор с биссектрисой, направленной по отрицательной части вещественной оси. Если 
положительно, то можно более точно оценить остаточный член, и имеет место формула
где 
На доказательстве этой формулы мы останавливаться не будем.
