185. Эллиптические координаты.

Эллиптические функции применяются очень часто главным образом в задачах механики. Остановимся лишь на самых основных и простых приложениях этих функций. Первым приложением будет применение эллиптических функций при рассмотрении эллиптических координат в пространстве. Мы уже встречались с эллиптическими координатами раньше [II, 137]. Сейчас повторим то, что нам было о них известно, а также укажем некоторые дополнительные их свойства. Изменим несколько обозначение, которым мы пользовались раньше, а именно числа заменим на . Напишем уравнение

Это есть уравнение третьей степени относительно . В любой заданной точке с декартовыми координатами уравнение (149) имеет три вещественных корня: , которые удовлетворяют неравенству

и эти три числа и называются эллиптическими координатами упомянутой точки. Чтобы не оговаривать знаков мы считаем отличными от нуля, например положительными. Если в уравнение (149) подставить то получим эллипсоид, проходящий через заданную точку, при это будет однополый гиперболоид, а при двуполый гиперболоид. Мы видели раньше, что координатные поверхности , взаимно ортогональны, т. е. эллиптические координаты суть ортогональные координаты. Выведем формулы, выражающие декартовы координаты через эллиптические. Приводя левую часть уравнения (149) к одному знаменателю и принимая во внимание, что числитель будет полиномом третьей степени от , со старшим коэффициентом и корнями и v, можно написать тождество относительно :

Умножая на и полагая затем получим выражение для и так же найдем выражения

Выведем теперь формулу для квадрата элемента дуги в эллиптических координатах. Формулы (152) в результате логарифмирования и последующего дифференцирования дадут нам

Отсюда, умножая на , возводя их почленно в квадрат и складывая, будем иметь

где, например,

Заметим, что правая часть формулы (153) не должна содержать произведений и т. д., так как эллиптические координаты суть ортогональные координаты [II, 130]. Правая часть формулы (154) может быть получена, если мы продифференцируем левую часть тождества (151) по р, переменим знак и положим затем , т. е.

Мы можем написать, таким образом, следующую формулу для

Зная выражение элемента длины, мы можем написать уравнение Лапласа в эллиптических координатах [II, 119]. Для сокращения письма введем следующее обозначение:

В обозначениях из [II, 119] мы имеем

причем надо брать положительными и надо помнить, что положительны, а Уравнение Лапласа в эллиптических координатах будет

где два последних слагаемых получаются из первого циклической перестановкой