184. Связь функций p(u) и sn(u).

Установим теперь непосредственную связь между эллиптическими функциями Возьмем функцию с какими-либо периодами Введем в рассмотрение из верхней полуплоскости и, пользуясь этим числом, построим функции тэта и функцию согласно первым из формул (130) и (131). Числа связанные с упомянутой выше функцией Вейерштрасса, не будут, вообще говоря, удовлетворять условию . Согласно приведенным выше формулам, будем иметь следующие соотношения (117):

Для функции вместо будем иметь новые числа которые, как известно, определяются из условий

Обозначим через отношение и рассмотрим функцию

Имеем и согласно таблице (133) функция имеет периоды . Из таблицы (134) мы видим, что полюсы функции будут где — любые целые числа.

Таким образом, функция как и функция имеет периоды и имеет в основном параллелограмме периодов единственный полюс второго порядка Покажем, что бесконечная часть в этом полюсе как и у функции будет Действительно, принимая во внимание нечетность функции имеем вблизи разложение вида

откуда

или имеем вблизи

что мы и хотели показать. Итак, окончательно функция имеет в общем с функцией параллелограмме периодов одинаковые полюсы с одинаковыми бесконечными частями, откуда следует, что эти две функции отличаются лишь постоянным слагаемым, т. е.

Определим постоянную С, полагая . Имеем: и в силу таблицы (133)

и формула (145) дает

Согласно формулам (143) и (144), можем написать

т. е.

откуда, пользуясь (146), будем иметь .

Пользуясь равенствами (143) и (114), можно постоянную С записать следующим образом:

Таким образом, окончательно получаем следующую связь между функциями

или