34. Функция w = z^2.

Мы уже исследовали раньше (в других обозначениях) функцию

и видели, что она преобразует плоскость в двулистную риманову поверхность и плоскости w с точками разветвления первого порядка . Установим теперь только вид изотермических сеток на плоскостях z и w. Отделяя вещественную и мнимую части, получим

Изотермическая сетка на плоскости z будет состоять из двух семейств равнобочных гипербол (рис. 32):

Рассмотрим теперь изотермическую сетку на плоскости w. Полагая в формулах:

и исключая у у а затем полагая и исключая мы получим два семейства парабол (рис. 33):

которые являются преобразованием прямых плоскости .

Мы можем, очевидно, рассматривать изотермическую сетку, образованную этими параболами, как изотермическую сетку на плоскости z для функции обратной функции (29).

Рассмотрим на рис. 32 какую-либо равнобочную гиперболу, изображенную пунктиром, для которой ось ОХ является вещественной осью. Ее уравнение будет где — некоторая положительная постоянная. Возьмем ее правую ветвь.

Если в уравнении увеличивать С от до то будут получаться гиперболы, изображенные пунктиром, правые ветви которых лежат правее правой ветви гиперболы и из сказанного выше непосредственно следует, что функция (29) конформно преобразует часть плоскости , лежащую внутри правой ветви гиперболы, на полуплоскость и СА плоскости w. Совершенно аналогично функция (29) конформно преобразует часть плоскости z, лежащую внутри левой ветви гиперболы на полуплоскость

Рассмотрим теперь на рис. 33 какую-либо параболу, изображенную пунктиром.

Рис. 32.

Рис. 33.

Ее уравнение имеет вид соответствует на плоскости прямая причем постоянную мы можем считать положительной, поскольку в уравнение параболы входит только . Если в уравнении увеличивать С от до то будут получаться параболы, изображенные пунктиром и лежащие левее параболы и отсюда следует, что функция конформно преобразует часть плоскости w, лежащую вне параболы , на полуплоскость плоскости z.