ГЛАВА VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА

130. Определение сферических функций.

В настоящей главе мы будем изучать некоторые специальные классы функций, которые встречаются при интегрировании уравнений математической физики. Все эти функции определяются обычно как решения некоторых линейных уравнений с переменными коэффициентами. В частности, в задаче колебания струны мы встретились с тригонометрическими функциями и в задаче колебания круглой мембраны — с бесселевыми функциями.

Мы начнем с изучения так называемых сферических функций, которые тесно связаны с уравнением Лапласа. Об этом уравнении мы уже много говорили раньше. В декартовых координатах оно имеет вид

Будем искать такие решения этого уравнения, которые имеют вид однородных полиномов переменных у и z.

Начнем с разбора простейших частных случаев. Единственный однородный полином нулевой степени есть произвольная постоянная а, которая, очевидно, удовлетворяет уравнению (1). Общий вид однородных полиномов первой степени будет

Такой полином также удовлетворяет уравнению (1) при любом выборе постоянных коэффициентов . Иначе говоря, мы имеем здесь три линейно независимых решения уравнения (1), а именно х, у и z, и их линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами дает общее решение уравнения (1), имеющее вид однородного полинома первой степени. Рассмотрим однородные полиномы второй степени

Подставляя в уравнение (1), мы получим одно соотношение для коэффициентов, а именно: . Мы можем, например, считать , и, следовательно, общий вид однородных полиномов второй степени, удовлетворяющих уравнению (1), будет

Здесь мы имеем пять линейно-независимых решений уравнения, а именно и линейная комбинация таких решений с произвольными постоянными коэффициентами дает общее решение уравнения, изображаемое однородным иолиномом второй степени.

Возьмем однородный полином третьей степени

Подставляя в уравнение (1), получим

Приравнивая нулю коэффициенты при , будем иметь три уравнения, связывающих коэффициенты:

так что общий вид решений уравнения (1), имеющих форму однородных полиномов третьей степени, будет

В данном случае мы будем иметь семь линейно-независимых решений уравнения.

Покажем теперь, что в общем случае существует линейно независимых однородных полиномов степени , удовлетворяющих уравнению (1). Займемся подсчетом числа коэффициентов в однородном полиноме и числа уравнений, которым они должны удовлетворять. Однородный полином степени с двумя переменными

содержит коэффициентов. Однородный полином степени с тремя переменными может быть записан в виде

где однородные полиномы степени k. Следовательно, общее число коэффициентов в однородном полиноме (2) будет

При подстановке нолинома (2) в левую часть уравнения (1) получится однородный полином степени , содержащий всего членов. Таким образом, коэффициентов полинома (2) будут связаны однородными уравнениями. Если эти уравнения независимы, то число коэффициентов, остающихся произвольными, будет

что мы и хотели доказать. Но при этом все же остается невыясненным, будут ли упомянутые выше уравнения действительно независимыми. Мы дадим поэтому другое полное доказательство высказанного предложения. Полином (2) мы можем записать в следующей форме:

где, очевидно,

Уравнение (1) можно переписать в виде

Пользуясь этим уравнением, мы можем в выражениях (3) исключить дифференцирование по переменной z выше первого порядка; например, мы можем написать

Таким образом, останутся произвольными лишь те коэффициенты в которых или вовсе нет дифференцирования по z, или где это дифференцирование производится один раз. Это будут коэффициенты: или и их общее число равно как раз что мы и хотели доказать.