59. Некоторые новые типы интегралов с тригонометрическими функциями.

Заметим, что при выводе предыдущего правила вычисления интегралов с бесконечными пределами мы нигде, по существу, не пользовались тем, что подинтегральная функция есть рациональная дробь. Для нас достаточно, чтобы функция удовлетворяла следующим двум условиям: 1) она регулярна в верхней полуплоскости и на вещественной оси, кроме конечного числа полюсов, лежащих в верхней полуплоскости, и 2) при в упомянутой области равномерно. При этом мы, как и выше, придем к равенству (11), причем второе слагаемое в левой части стремится к нулю, так что, переходя к пределу, будем иметь

где — сумма вычетов относительно полюсов, лежащих в верхней полуплоскости. Разбивая промежуток интегрирования на части и заменяя в первом из интегралов на мы можем вместо равенства (13) написать

или

Применим полученный результат к тому частному случаю, когда подинтегральная функция имеет вид

причем функция удовлетворяет поставленным выше двум условиям. При этом, как нетрудно видеть, и функция будет

удовлетворять этим двум условиям. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что множитель регулярный на всей плоскости остается ограниченным в верхней полуплоскости и на вещественной оси. Мы имеем, очевидно,

откуда непосредственно следует, что при Таким образом, если удовлетворяет поставленным выше двум условиям, то мы имеем

где — сумма вычетов функции (15) в верхней полуплоскости. Рассмотрим два частных случая. Положим сперва, что — функция четная, т. е. что при этом предыдущая формула дает

Если же функция нечетная, т. е. если то предыдущая формула дает

Пример I. Рассмотрим интеграл

В данном случае функция

удовлетворяет, очевидно, поставленным выше двум условиям и является функцией четной, так что мы имеем возможность применить формулу (17). Единственный полюс функции

в верхней полуплоскости есть простой полюс . Мы можем определить вычет в этом полюсе по тому правилу, которое уже применяли и которое можно формулировать кратко как правило; числитель, деленный на

производную от знаменателя. В данном случае это правило дает следующее выражение для вычета функции (19):

и мы окончательно получаем

Пример II. Рассмотрим интеграл

В данном случае будет применима формула (18), и функция

будет иметь единственный полюс в верхней полуплоскости второй кратности. Вычет в этом полюсе будет определяться по формуле

или

откуда непосредственно получаем окончательный результат:

Замечание. Заметим, что формулу (13) мы не имеем права, вообще говоря, писать в виде

Действительно, интеграл между бесконечными пределами

определяется как сумма пределов интегралов

при стремлении R к . Если этих пределов в отдельности нет, но сумма написанных интегралов стремится к конечному пределу, т. е. существует конечный предел

то этот предел называется главным значением интеграла по бесконечному промежутку и его обозначают следующим образом:

В формуле (13) мы должны интеграл рассматривать в смысле главного значения. Но если из каких-либо соображений мы знаем, что интеграл этот существует как обычный несобственный интеграл, то этого не надо делать, так как в этом случае интеграл в смысле главного значения совпадает с обычным несобственным интегралом, В [26] мы определили главное значение интеграла в том случае, когда терпит разрыв непрерывности в какой-либо точке на конечном расстоянии.