Пример I. Рассмотрим интеграл
Проделывая указанные выше преобразования, приведем его к следующему виду:
или
Полюсы подинтегральной функции будут совпадать с корнями квадратного уравнения
один из корней которого по модулю меньше единицы. Этот корень определяется по формуле
причем радикал надо брать положительным. Вычет подинтегральной функции мы можем определить согласно тому правилу, которое было указано в [21], а именно этот вычет будет равен частному от деления числителя подынтегрального выражения на производную от знаменателя при 
т. е. в данном случае этот вычет будет
и окончательно мы получаем
Пример 11. Рассмотрим еще интеграл
Совершая такие же преобразования, что и выше, мы будем иметь
В данном случае значение 
будет единственным полюсом внутри единичной окружности, причем это будет полюс уже второго порядка. Согласно указанию [21], для определения вычета 
в этом полюсе мы должны умножить подинтегральную функцию на 
, взять первую производную
от полученного произведения и положить затем 
. Пусть 
второй корень уравнения (7), по модулю больший единицы:
Проделывая указанные операции, в данном случае будем иметь
и затем, полагая 
и принимая во внимание выражения 
получим следующее значение для вычета:
Окончательно теорема о вычетах даст
- рациональная функция от 
. Введем вместо вещественной переменной 
комплексную переменную 
При изменении 
в промежутке 
комплексная переменная z пробегает, очевидно, единичную окружность. Кроме того, согласно формулам Эйлера, мы можем написать
. Подставляя все это в (6), мы получим интеграл от рациональной дроби по единичной окружности 
которую будем обозначать через С.
на сумму вычетов подинтегральной функции относительно полюсов, лежащих внутри единичной окружности.
