70. Интегралы, зависящие от параметра.

В дальнейшем нам придется встречаться с определением функций в виде интегралов, зависящих от параметра. С этим мы уже встречались в [61]. В случае вещественного переменного мы рассматривали такой способ задания функции и устанавливали условия, при которых такая функция имеет производную, причем можно производить дифференцирование под знаком интеграла [11, 83].

Рассмотрим аналогичный вопрос для случая комплексного переменного.

Теорема. Пусть непрерывная функция двух переменных t и z, когда z принадлежит замкнутой области В с контуром I и t — конечному интервалу вещественной оси. Пусть, далее, есть регулярная функция от z в замкнутой области В при всяком t, принадлежащем упомянутому интервалу. При этом функция определяемая равенством

есть регулярная функция внутри В, и при вычислении ее производной мы можем производить дифференцирование по z под знаком интеграла, т. е.

Согласно формуле Коши, можем написать

где z — внутри В и t — любая точка интервала . Следовательно,

При интегрировании непрерывной функции мы можем менять порядок интегрирования [II, 81 и 89]:

Эта формула дает в виде интеграла типа Коши, и, следовательно, со есть регулярная функция внутри а ее производная определяется по формуле [8]

Меняя опять порядок интегрирования, можем написать

Выражение, стоящее в квадратных скобках, согласно формуле Коши дает производную Последняя формула совпадает с мулой (109), и теорема доказана. Заметим, что мы могли бы считать, что t меняется не вдоль конечного интервала вещественной оси, а вдоль любой конечной кривой. Доказательство теоремы от этого не изменилось бы. Заметим по поводу предыдущего доказательства, что интеграл

стоящий в числителе интеграла типа Коши, которым выражается представляет собою непрерывную функцию от z на Это непосредственно следует из того, что есть, по условию, непрерывная функция своих двух аргументов.

Перейдем теперь к рассмотрению несобственных интегралов. Здесь для доказательства теоремы достаточно добавить условие равномерной сходимости интеграла (109). Для определенности будем рассматривать интеграл по бесконечному промежутку но доказательство годится и для других типов несобственных интегралов.

Теорема. Пусть непрерывная функция двух переменных когда z принадлежит замкнутой области В и Пусть, далее, регулярная функция в замкнутой области В при всяком и интеграл

сходится равномерно относительно z, принадлежащего замкнутой области В. При этом

- регулярная функция от z внутри В и

Составим последовательность функций

где любая последовательность чисел, больших а, стремящаяся к . По доказанной теореме, регулярные функции внутри В и

Из условия равномерной сходимости интеграла (110) следует, что равномерно стремятся к функции определяемой формулой (110), и по теореме Вейерштрасса эта функция есть регулярная функция внутри В и , т. е.

при любом законе стремления . Отсюда следует

причем интеграл, стоящий справа, наверно имеет смысл. Теорема» таким образом, полностью доказана.

При доказательстве теоремы мы могли бы считать, что интегрирование по t происходит и по некоторому бесконечному контуру С. Такой несобственный интеграл надо понимать как предел интегралов по конечным контурам, составляющим часть С. Теорема дословно применима и для несобственного интеграла, в котором подинтегральная функция становится неограниченной, например при приближении t к а.

Заметим, наконец, что имеет место следующее достаточное условие абсолютной и равномерной сходимости интеграла если интегрирование по t совершается вдоль вещественной оси и если при принадлежащем замкнутой области В, выполняется неравенство причем интеграл

сходится, то интеграл (110) сходится абсолютно и равномерно. Абсолютная сходимость определяется так же, как и в случае вещественного .