125. Представление решения в окрестности особой точки.

Рассмотрим логарифмы интегральных матриц с дополнительным численным множителем

Мы взяли главное значение логарифма, которое представляется степенным рядом, сходящимся, если матрица достаточно близка к единичной матрице. Из формулы (327) непосредственно вытекает, что это условие будет наверно выполнено, если матрицы близки к нулевой матрице, что мы и будем пока считать. В дальнейшем мы дадим представление для при всех и покажем, что как функция будет иметь особенность лишь в том случае, когда среди характеристических чисел есть такие, разность между которыми равна целому числу, отличному от нуля.

Подставляя в ряд вместо его выражение по формуле (327) и собирая подобные члены, получим для представление в виде степенного ряда от матрицы сходящегося, если эти матрицы достаточно близки к нулевой матрице:

Мы не останавливаемся на вычислении коэффициентов этого разложения, что может быть легко сделано при помощи непосредственной подстановки ряда в ряд. Рассмотрим теперь элементарную функцию

Беря соответствующее значение логарифма, которое обращается в нуль при мы видим, что функция (338) обращается в единичную матрицу при , а в результате обхода вокруг логарифм приобретает слагаемое и функция (338) превратится в новую функцию:

причем порядок множителей в этом выражении не играет роли, так как оба множителя суть степенные ряды одной и той же матрицы , а следовательно, коммутируют друг с другом. Мы видим, таким образом, что элементарная функция (338) в результате обхода вокруг приобретает слева тот же самый множитель что и наше решение и также обращается единичную матрицу при Мы можем, следовательно, написать

где есть матрица, равная единичной матрице при и однозначная в окрестности точки Мы покажем сейчас, что она будет не только однозначной в окрестности точки но будет и регулярной в самой точке т. е. что множитель включает в себя не только разветвление нашего решения, но и вообще всю особенность решения в точке как это было и при исследовании регулярных особых точек уравнений второго порядка.

Имеем согласно (339)

откуда, дифференцируя по получаем

или, пользуясь уравнениями (318) и (340),

т. e. матрица является решением системы уравнений

Обращаясь к правой части формулы (340), мы видим, что оба сомножителя представляются степенными рядами от матриц и, следовательно, то же можем сказать и об их произведении, причем если все равны нулю, то также равно нулю, и первый множитель слева в правой части (340) обращается в единичную матрицу. То же можно утверждать относительно а следовательно, и относительно Поэтому можно искать в виде степенного ряда следующего вида:

Подставляя в уравнение (341) ряды (337) и (342) и сравнивая коэффициенты при произведении получим

и, в частности,

Заметим, что в написанной сумме по k второй множитель слагаемого теряет смысл при его надо заменить при этом единицей. В дальнейшем мы часто будем встречаться с аналогичными суммами, в которых сомножители крайних слагаемых теряют смысл при принятой записи, и надо помнить, что они заменяются при этом единицей.

Как мы уже упоминали выше, матрица должна обращаться в единичную матрицу при для любых матриц достаточно близких нулю, т. е. все коэффициенты в разложении (342) должны обращаться в нуль при Принимая это во внимание и пользуясь предыдущими формулами, мы можем написать следующую формулу, определяющую последовательно коэффициенты в разложении (342):

В частности, при мы имеем

Эти коэффициенты в разложении (342) должны быть однозначными функциями в окрестности поскольку вся сумма ряда (342) должна быть однозначной функцией, как мы это видели выше. Отсюда непосредственно следует, что в выражении (344) под знаком интеграла вычет в полюсе должен обращаться в нуль, и, следовательно, функция (344) оказывается регулярной в самой точке Будем теперь дальше проводить доказательство от к v. Положим, что все функции

регулярны в точке при . Докажем, что этим же свойством будут обладать функции (345) и при Для этих функций мы имеем формулу (343). В силу упомянутой выше регулярности функций (345) при подинтегральная функция формулы (343) может иметь в точке лишь полюс первого порядка. Но если бы вычет в этом полюсе оказался отличным от нуля, то функция (343) оказалась бы многозначной в окрестности точки чего не может быть. Отсюда следует, что иодинтегральная функция в формуле (343) и сам интеграл будут регулярны в точке . Мы не останавливаемся на более подробном определении коэффициентов в разложении (342).

Все предыдущие рассуждения относились лишь к тому случаю, когда матрицы достаточно близки к нулю. В дальнейшем мы дадим представление матрицы и связанных с нею матриц, годное для любых матриц, причем окажется, что особыми точками в таком представлении будут те матрицы среди характеристических чисел которых имеются такие, которые отличаются на целое число, отличное от нуля.