196. Пример.

Если мы сумели решить характеристическое уравнение для данной матрицы А, то вид ее канонической формы может быть непосредственно определен хотя бы при помощи того алгебраического критерия, который указан нами в предыдущем номере. Но остается вопрос о построении той матрицы V с определителем, отличным от нуля, которая приводит заданную матрицу А к канонической форме. При исследовании самого преобразования к канонической форме мы привели задачу к последовательному выбору новых ортов. Этот выбор в конечном счете и приводил данную матрицу к канонической форме. Но мы знаем [II, 21], каким образом по заданному преобразованию ортов составить то преобразование которое приводит матрицу А, как оператор, к новому виду. Если Т есть линейное преобразование ортов, то матрица А приводится к новому виду т. е. для получения U по Т мы должны в Т переставить строки и столбцы и взять обратную матрицу.

Наметим теперь план решения задачи. Сначала мы будем выбирать новые орты таким образом, чтобы наша матрица привелась к квазидиагональной форме в соответствии с различными ее характеристическими числами так, как это указано в [192]. В данном случае вопрос о выборе новых ортов сведется к решению уравнений первой степени вида После этого задача сведется к приведению к канонической форме матрицы В с единственным характеристическим числом, равным нулю. Здесь нам придется сначала определить такое наименьшее число что и затем строить систему уравнений первой степени вида

Определяя ранг этой системы уравнений, мы возьмем те векторы, которые ей не удовлетворяют, и, совершая над ними преобразование В, построим серии новых ортов. Если после этого в подпространстве, определяемом написанной системой, останутся еще векторы, то, применяя и к ним последовательно преобразование В, мы получим новые серии ортов и т. д. Таким образом, мы придем ко второму преобразованию ортов и тем самым ко второму преобразованию подобия для основной матрицы А, которая окончательно и приведет эту матрицу к канонической форме. Разъясним эти общие соображения численным примером.

Рассмотрим матрицу пятого порядка

Составляя по обычному правилу ее характеристическое уравнение, мы увидим, что оно будет иметь следующий вид:

т. е. это уравнение имеет корень третьей кратности и корень второй кратности. Составляем теперь матрицы и уравнение должно определить нам подпространство измерения три, т. е. матрица должна иметь ранг, равный двум.

Точно так же матрица должна иметь ранг, равный трем. При помощи элементарных вычислений находим

и система сводится к двум уравнениям:

где составляющие вектора .

Мы имеем, таким образом,

причем остаются произвольными. Полагая одно из них равным единице, а остальные нулю, получаем три новых орта, которые в прежней системе имеют следующие составляющие:

Точно так же в результате элементарных преобразований получим

и уравнение приведется к системе трех уравнений

или

причем остаются произвольными. Это дает нам два новых орта:

Новые орты (43) и (44) будут выражаться через прежние по формулам

Матрица этого линейного преобразования имеет вид

и мы получим, переставляя строки и столбцы и переходя к обратной матрице:

Отсюда, произведя по обычному приему перемножение матриц, преобразуем матрицу А к квазидиагональной форме, состоящей из матриц третьего и второго порядков:

Матрица третьего порядка

должна иметь характеристическое число третьей кратности. Составляем новую матрицу:

имеющую характеристическое число третьей кратности. Возводя ее в квадрат, получаем Таким образом, в данном случае мы имеем и единственная система приводится к одному уравнению

Подпространство наших прежних обозначениях совпадает с полным трехмерным пространством, и подпространство может быть образовано векторами (1, 0, — 1) и (0, 1, 0). Берем вектор (1, 0, 0), не входящий в Он образует подпространство Производя над ним операцию получаем

Векторы (1, 0, 0) и образуют первую серию новых ортов, которым соответствует каноническая матрица

За третий орт мы должны брать какой-нибудь вектор линейно независимый с вектором Берем вектор (0, 1, 0). Ему соответствует каноническая матрица 0 первого порядка. Новые орты будут выражаться через прежние по формулам

Берем теперь матрицу второго порядка, входящую в квазидиагональную матрицу (45):

Она должна иметь характеристическое число второй кратности. Строим матрицу

с характеристическим числом второй кратности. Очевидно, как это должно быть по формуле Кейли. Уравнение равносильно где составляющие х в рассматривается в двумерном пространстве. Берем за первый орт вектор (1, 0), т. е. не удовлетворяющий уравнению и, применяя к нему операцию получаем

Таким образом, два новых орта будут (1, 0) и так что получаются следующие выражения новых ортов через прежние:

или, принимая во внимание прежние формулы.

Последним двум ортам будет соответствовать каноническая матрица

К первым двум каноническим матрицам мы должны прибавлять число 2 по главной диагонали и к последней канонической матрице — число Окончательно каноническая форма матрицы А будет

Составим, наконец, матрицу V, которая преобразует А к виду (47). Она, как мы видели, является произведением где нолучено нами выше, а может быть определено по формуле

где матрица линейного преобразования (46). Мы имеем

Отсюда, производя перемножение, получим

Окончательно