6. Основная формула интегрального исчисления.

Положим, что регулярна в некоторой области, и рассмотрим функцию, определяемую формулой (20). Если наша область многосвязна, то все же мы можем считать однозначной, произведя соответствующие разрезы. Совершенно так же, как в интегральном исчислении функций вещественного переменного [1, 98], можно показать, что является первообразной функцией для

Для этого заметим прежде всего, что из самого определения интеграла, как предела суммы, непосредственно вытекает

где комплексные координаты начала и конца l. Далее, очевидно,

где интегрирование можно совершать, например, по прямолинейному отрезку, соединяющему точки z и При достаточно малом этот отрезок не выходит из области регулярности функции f(z) (поскольку z считается внутренней точкой этой области), и мы имеем, очевидно,

где вынесена за знак интегрирования, так как она не содержит переменной интегрирования Последнюю формулу можно переписать в следующем виде:

Остается доказать, что последнее слагаемое, стоящее справа, стремится к нулю при

Пользуясь оценкой интеграла, данной в [4], и принимая во внимание, что длина пути интегриропания в данном случае равна можем написать

Нам надо взять maximum модуля разности при изменении вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего z и Непрерывная неотрицательная функция от принимает на упомянутом отрезке наибольшее значение в некоторой точке Но при точка принадлежащая упомянутому отрезку, стремится к z, и в силу непрерывности разность откуда и следует, что последнее слагаемое справа в выражении (23) стремится к нулю, т. е.

Покажем теперь, что если имеются две первообразные функции для функции то они отличаются постоянным слагаемым. По условию имеем

т. е.

Таким образом, нам остается показать, что если внутри области В производная некоторой функции равна тождественно нулю, то эта функция в области В есть постоянная. Итак, пусть и

Составляем два выражения для производной

и, следовательно, имеем

откуда непосредственно следует, что не зависят ни от ни от т. е. являются постоянными, а следовательно, и функция будет постоянной.

Положим, что мы имеем некоторую первообразную функцию для функции Она отличается от первообразной функции (20) лишь постоянным слагаемым, т. е.

Для определения этого постоянного слагаемого положим, что конец z совпадает с началом пути что даст нам

и предыдущую формулу можно переписать в виде

т. e. величина контурного интеграла равна приращению первообразной функции вдоль пути интегрирования. При этом предполагается, конечно, что первообразная функция однозначна и регулярна в некоторой области, содержащей путь интегрирования внутри себя.

Пример. Рассмотрим интеграл

где — некоторое целое число и замкнутый контур. Если отлично от то первообразная функция будет

Это будет однозначная регулярная функция или везде, если , или везде, кроме если Предполагаем контур I не проходящим через . При обходе по замкнутому контуру однозначная функция (26) будет иметь, очевидно, приращение, равное нулю, и, следовательно, величина интеграла (25) при будет по любому замкнутому контуру равна нулю. Если , то это непосредственно следует из теоремы Коши.

Рис. 5

Если то это также следует из теоремы Коши, если только точка не находится внутри контура

Предыдущее рассуждение показывает, что и при отрицательном не равном — 1, величина интеграла (26) будет равна нулю, даже если а находится внутри контура I. При этом подинтегральная функция не будет уже регулярной в точке так как в этой точке она будет обращаться в бесконечность.

Рассмотрим теперь случай т. е. интеграл вида

Если а находится вне замкнутого контура U то по теореме Коши интеграл (27) равен нулю. Положим, что точка а находится внутри контура l (рис. 5). Проведем окружность С с центром а и малым радиусом .

Подинтегральная функция будет регулярной в кольце, ограниченном контуром и окружностью С, и, следовательно, согласно теореме Коши, мы можем при вычислении интеграла (27) интегрировать по окружности С. На этой окружности

где меняется в промежутке . Отсюда

Подставляя в интеграл (27), будем иметь

т. e. окончательно