19. Примеры многозначных функций.

Рассмотрим функцию

и положим, что переменная w меняется в верхней полуплоскости, т. е. в той части плоскости, где коэффициент мнимой части положителен (над вещественной осью), так что изменяется от 0 до При возведении в квадрат модуль будет возводиться в квадрат, а аргумент умножаться на два, и, следовательно, значения заполнят уже всю плоскость, причем как положительная, так и отрицательная части вещественной оси плоскости w перейдут на плоскости z в положительную часть вещественной оси.

Мы видим, таким образом, что в результате преобразования (99) верхняя часть плоскости w перейдет во всю плоскость z с разрезом, проведенным вдоль положительной части вещественной оси от 0 до . Обозначим плоскость с таким разрезом через . Мы можем, наоборот, считать, что w — однозначная функция от z в области .

причем мы должны брать то значение радикала, для которого коэффициент мнимой части положителен. Вещественные положительные значения z будут находиться как на верхнем, так и на нижнем берегу нашего разреза. На верхнем берегу функцию надо брать положительной, а на нижнем берегу — отрицательной.

Будем теперь считать, что w меняется в нижней полуплоскости. Возводя его в квадрат, получим, как нетрудно видеть, для z второй экземпляр той же самой прежней области . Обозначим его через . В этой новой области функция (100) опять будет регулярной и однозначной, причем радикал надо брать таким, чтобы коэффициент мнимой части был отрицательным.

Из предыдущих рассуждений непосредственно следует также, что значения функции (100) на верхнем берегу разреза в области совпадают со значениями этой функции на нижнем берегу разреза области и наоборот.

Таким образом, проводя разрез от 0 к мы получаем область, где функция (100) однозначна, но для того чтобы иметь все значения этой функции, надо считать ее за две различные функции, определенные в областях Ту и так, как это мы делали выше. Такое разбиение функции (100) на две отдельные однозначные функции представляется искусственным, и мы свяжем сейчас эти две функции в единую аналитическую функцию, однозначную и регулярную на некоторой двулистной плоскости. Для того чтобы создать эту двулистную плоскость Ту наложим экземпляр на экземпляр и соединим мысленно берега разрезов этих двух экземпляров крест-накрест, а именно: верхний берег разреза на соединим с нижним на и наоборот. Точки и будем считать совпадаю щими на обоих экземплярах плоскости. Это соответствует тому факту, что функция (99) имеет значение только при и значение только при есть полюс этой функции). Всякое другое значение получается при двух значениях Построенная вышеуказанным образом двулистная область Т получается, очевидно, из расширенной плоскости z при помощи преобразования (99), причем, как указано выше, точки и на двулистной плоскости Т отождествляются, т. е. считается, что два листа Т «скреплены» в этих точках.

Применяя правило дифференцирования обратной функции, получим

откуда мы видим, что функция (100) регулярна на двулистной области Т везде, кроме точек

Выясним особую роль этих последних точек. Если мы на обычной плоскости из какой-либо точки отличной от опишем простой замкнутый контур вокруг z = 0 (например, против часовой стрелки), так что аргумент при возвращении в исходную точку получит приращение а аргумент получит приращение то мы придем в точку уже с другим знаком Такой обход на плоскости приведет на двулистной области Т в точку , лежащую на другом листе.

Если мы возьмем, например, на плоскости окрестность и произведем в этой окрестности разрез вдоль радиуса то на полученной окрестности z функция будет однозначной, непрерывной и регулярной (кроме z = 0). Но, как видно из вышесказанного, она не будет однозначной на полной окрестности без разреза, т. е., точнее говоря, при аналитическом продолжении по линии, обходящей наша функция не однозначна. Такая точка называется обычно точкой разветвления функции. На двулистной области Т это соответствует тому факту, что при обходе точки мы попадаем на другой лист. В данном случае при вторичном обходе точки мы возвращаемся к исходному значению на плоскости и соответственно возвращаемся на исходный лист двулистной области Т. Такая точка разветвления называется точкой разветвления первого порядка (функции или двулистной области Т).

Совершенно аналогично точка будет также точкой разветвления первого порядка функции При этом в качестве контура обходящего вокруг точки мы можем брать любой простой замкнутый контур, содержащий точку внутри (точка будет содержаться вне ). Отметим, что если мы возьмем контур таким, что и находится вне то естественно считать, что контур обходит две точки разветвления и с точки зрения расширенной плоскости (обе точки вне ). При таком обходе вернется к прежнему значению, а на Т мы вернемся на исходный лист.

В данном случае нам удалось просто получить область 7, на которой функция является однозначной и регулярной, так как эта функция является обратной для весьма простой функции (99).

В дальнейшем мы уточним понятие точки разветвления функции. На рис. 16 намечен вид двулистной плоскости близ точки разветвления. Вообще, если функция

есть рациональная функция w (частное двух полиномов без общих корней или просто полином), то в результате преобразования (102) плоскость w переходит в многолистную плоскость z во всех случаях, кроме следующих элементарных случаев [30 и 31]:

когда расширенная плоскость w переходит в расширенную плоскость г. В общем случае обратная функция

на всей многолистной плоскости Т (кроме точек разветвления Т и полюсов регулярна. Точки разветвления Т получаются: 1) при тех конечных значениях w, при которых при значении если в этой точке имеет корень или полюс выше первой кратности; 3) при значении если в разложении (90) при замене z на w после следует член при . При этом получается координата точки ветвления. При точка есть простой полюс . Число листов Т равно наибольшей степени полиномов, входящих в рациональную функцию (102). Многолистные плоскости, которые получаются не только указанным выше приемом, но и из более общих соображений, называются обычно римановыми поверхностями (Риман — немецкий математик середины XIX века).

Рис. 16.

Рассмотрим следующий пример многозначной функции:

Многозначность этой функции проистекает лишь от наличия в ее выражении и, следовательно, на двулистной плоскости , которую мы построили выше, функция (104) однозначна. Она, как и функция (100), имеет точки разветвления а также полюс в одной из точек Таких точек мы будем иметь две (на листах ). На одном листе и на другом и именно последняя точка будет полюсом функции (104).

Если бы мы не пользовались двулистной плоскостью Т и совершали бы аналитическое продолжение функции (104), например, от точки считая то мы приходили бы к различным значениям в зависимости от пути продолжения. В частности, точка будет полюсом при таком пути продолжения, который приводит при

Функцию (104) можно рассматривать как функцию, обратную функции

которая регулярна на всей расширенной плоскости, кроме точки . Эта точка является полюсом второго порядка и она дает точку ветвления (первого порядка). Далее, и точка Дает вторую точку ветвления . Точка дает точку на одном листе, и точка дает на другом листе. Рассмотрим функцию вида

Для этой функции точками разветвления будут точки а и b. Обход по замкнутому контуру вокруг одной из этих точек будет менять знак у выражения (105), но одновременный обход вокруг обеих этих точек а и b оставляет функцию неизменной. Действительно, положим

откуда

Если мы обойдем по замкнутому контуру l против часовой стрелки вокруг обеих точек, то к аргументам добавится сумма () получит приращение а аргумент выражения (105) получит приращение , т. е. функция не изменит своей величины. Чтобы сделать функцию (105) однозначной, нам достаточно провести разрез из точки а в точку b. Такой разрез является как бы запрещением обходить в отдельности вокруг точек а и b. Функция (105) имеет во всех точках, кроме z = a и b, два значения, и, чтобы получить все значения этой функции, мы должны взять два экземпляра разрезанной вышеуказанным способом плоскости. На каждом из них (105) будет однозначной функцией, и значения этой функции на разных экземплярах будут отличаться друг от друга только знаком.

Если мы наложим один экземпляр на другой и мысленно соединим берега разрезов крест-накрест, то получим двулистную риманову поверхность с точками разветвления а и b первого порядка, на которой функция (105) однозначна и регулярна (кроме точек разветвления). Бесконечно далекая точка не будет точкой разветвления, и в каждом листе будет своя бесконечно далекая точка. Вблизи этой бесконечно далекой точки мы можем переписать функцию (105) в виде

Разлагая разности по биному Ньютона, что возможно, ибо в окрестности бесконечно далекой точки меньше единицы, мы получим для нашей функции следующее представление в окрестности бесконечно далекой точки:

т. e., перемножая ряды, увидим, что бесконечно далекая точка на обоих листах будет полюсом первого порядка.

Отметим, что, решая уравнение (105) относительно мы получим многозначную функцию т. е. функция (105) не является обратной функцией от функции, однозначной на всей плоскости. Ее риманова поверхность, на которой она однозначна, имеет две точки разветвления, первого порядка. Можно получить эту риманову поверхность при помощи преобразования

на плоскости w, и функция, обратная написанной,

будет иметь ту же риманову поверхность, что и функция (105). Рассмотрим функцию

где — некоторое целое положительное число. Для этой функции всякий обход вокруг меняет значение функции, и, лишь совершив обходов вокруг в одном и том же направлении,

Мы вернемся к исходному значению функции, т. е. для функции (106) точка а будет точкой разветвления порядка. Действительно, обозначая через модуль и аргумент z — а, получим

Совершив раз обход вокруг в положительном направлении, мы добавим к слагаемое и, следовательно, аргумент а получит приращение от чего значение функции не изменится.

Рис. 17.

Перейдем теперь к рассмотрению другрй важной в теории функций многозначной функции, а именно логарифма. Эта функция получается в результате обращения показательной функции

Выясним сначала некоторые свойства показательной функции Нетрудно видеть, что она имеет чисто мнимый период Действительно:

Разделим всю плоскость на полосы, шириною прямыми, параллельными вещественной оси (рис. 17, а). За исходную полосу возьмем, например, полосу ограниченную прямыми Мы можем перевести эту основную полосу в любую другую, добавляя к w слагаемые вида где — некоторое целое число.

При этом в силу указанной периодичности значения функции

(107) не будут меняться, т. е. значения этой функции в каждой из полос будут такими же, что и в основной полосе. Посмотрим теперь, во что преобразует функция (107) эту основную полосу. Проведем в этой полосе отрезок параллельный мнимой оси, с абсциссой . Вдоль этого отрезка будем иметь

и, следовательно,

т. е. наш отрезок перейдет в полную окружность с центром в начале и радиусом причем концам этого отрезка будет соответствовать одна и та же точка окружности. Если мы возьмем часть полосы заключенную между двумя отрезками, параллельными оси с абсциссами то в результате преобразования (107) получим на плоскости z круговое кольцо с центром в начале и радиусами Окончательно вся полоса перейдет в плоскость z с исключенным началом координат. Верхняя и нижняя границы полосы перейдут в положительную часть вещественной оси. Совершим разрез вдоль этой части вещественной оси. Мы можем тогда сказать, что верхний берег этого разреза соответствует нижней границе полосы, - а нижний — верхней границе полосы. Обозначим через плоскость с исключенным началом и проведенным нами разрезом. В этой области функция, обратная (107):

будет однозначной и регулярной, и ее производная будет определяться по обычному правилу дифференцирования обратных функций:

Как известно, мы имеем

При аналитическом продолжении этой функции вдоль некоторого контура мы должны следить за непрерывным изменением аргумента .

В построенной нами области изменение аргумента ограничено пределами и мы получаем однозначное определение для функции (108). Точка является, очевидно, точкой разветвления нашей функции (108), а именно: совершая аналитическое продолжение этой функции по замкнутому контуру вокруг начала и обходя это начало раз против часовой стрелки, мы добавим к функции (108) слагаемое и всякий новый обход будет нам давать новые значения функции, т. е. в данном случае точка является точкой разветвления бесконечного порядка.

Обратим внимание на бесконечно далекие точки плоскостей . Функция (107) имеет точку существенно особой точкой, и она не определена в этой точке, а для функции (108) точка есть точка разветвления бесконечного порядка. Значение не принадлежит области значений и точка не принадлежит бесконечнолистной плоскости функции . Совершенно аналогично предыдущему можно рассмотреть функцию имеющую точки разветвления бесконечного порядка.

Рассмотрим еще функцию

имеющую точки разветвления . Если описать замкнутый контур, содержащий внутри, то уменьшаемое и вычитаемое написанной выше разности получат одно и то же слагаемое, разность не изменится, т. е. точка не будет точкой разветвления функции (110). Если мы перепишем функцию (110) в виде

то при , где — наибольшее из чисел мы можем разложить оба логарифма по формуле (80) и получим

Эта формула дает одну из ветвей нашей многозначной функции в окрестности . Остальные ветви w получаются добавлением к (111) слагаемого , где — любое целое число (). При любом фиксированном мы получим другую ветвь w. Рассмотренная функция будет однозначной на плоскости с прямолинейным разрезом, соединяющим точки и точка будет на такой плоскости регулярной точкой функции причем мы фиксируем в окрестности для w, например, разложение (111). Если образовать, пользуясь указанным выше разрезом бесконечнолистную плоскость так же, как это мы делали для функции пользуясь разрезом то на полученной бесконечнолистной плоскости функция (110) будет однозначной, к каждому листу будет принадлежать точка и в окрестности этой точки мы будем иметь разложение (111) с добавлением слагаемого причем целое число различно на различных листах. Как указано выше, на исходном листе мы приняли При всяком целом фиксированном мы получим некоторую другую ветвь нашей функции.

Рассмотрим еще функцию

имеющую точки разветвления бесконечного порядка.. Для производной этой функции мы, как и в случае вещественного переменного, будем иметь

или