182. Дифференциальные уравнения для функций Якоби.
Из формул (113) и (121) непосредственно следует
Чтобы определить знак правой части, помножим обе части написанного равенства на 
и положим затем 
Принимая во внимание, что произведение 
при 
дает 
а также пользуясь формулами (132), находим, что в правой части предыдущей формулы мы должны брать знак (—). Этот знак, очевидно, остается неизменным и при аналитическом продолжении функции, т. е. мы имеем
С другой стороны, дифференцируя соотношение
получим
и сравнение этих двух выражений для 
дает нам
Дифференцируя затем равенства (126) и пользуясь (135), получим формулы производных для двух других функций Якоби:
Отсюда, возводя в квадрат и пользуясь (126), мы получим окончательно следующие дифференциальные уравнения для функций Якоби:
Остановимся несколько ближе на дифференциальном уравнении для функции 
Полагая 
можем написать
причем при 
надо считать 
и радикал, стоящий справа, равным единице, так как 
в силу (132). Разделяя переменные и интегрируя, получаем
Отсюда видно, что функция 
получается в результате обращения эллиптического интеграла первого рода в форме Лежандра. Можно показать и наоборот, что, задавая произвольное комплексное значение для числа 
отличное только от 0 и 1, получим в результате обращения интеграла (138) функцию Якоби 
Таким образом, элементом построения для функции Якоби вместо 
может служить число k. Мы подробно исследовали интеграл (138) с точки зрения конформного преобразования для того частного случая, когда число 
вещественно и заключается между нулем и единицей. В этом случае имеем один вещественный период, который мы в [168] обозначили через 
и другой чисто мнимый период 
Сравнивая с теперешними обозначениями, получим
