191. Случай простых корней.

Выше мы разобрали полностью приведение матрицы к канонической форме в том случае, когда матрица имеет различные характеристические числа. Изложим это несколько иначе с тем, чтобы потом провести аналогичные рассуждения и в общем случае, когда имеются одинаковые характеристические числа.

Пусть характеристические числа матрицы А, различные между собой. Как мы видели, существуют в данном случае линейно независимых векторов которые удовлетворяют уравнениям

или

Каждый из этих векторов образует подпространство одного измерения, и эти подпространства дают полную систему подпространств. Каждый из векторов вида где некоторое число, удовлетворяет, очевидно, уравнению т. е. в результате преобразования А умножается лишь на число а. Иначе говоря, каждое из подпространств является инвариантным подпространством по отношению к линейному преобразованию, осуществляемому матрицей А. Выбирая векторы за орты, мы приводим матрицу А не только к квазидиагональной форме, но просто к чисто диагональной форме, поскольку каждое из подпространств имеет лишь одно измерение.

Напишем уравнение вида

Ему удовлетворяют, между прочим, векторы подпространства . Нетрудно видеть, что других решений оно не имеет, т. е. что уравнение (16) определяет подпространство одного измерения. Действительно, если бы оно определяло подпространство выше одного измерения, например двух измерений, то, как мы показали в [III, 27], каждый вектор этого подпространства будет линейно независимым с векторами остальных подпространств и мы получили бы таким образом линейно независимых векторов в -мерном пространстве, что невозможно. Таким образом, в рассматриваемом случае уравнения (16) и определяют подпространство .

Можно определить эти подпространства и иначе. Возьмем для этого разложение на простейшие дроби

где — числа, отличные от нуля. Подставляя имесю z матрицу А, получим

Рассмотрим теперь подпространства определяемые формулами где любой переменный вектор из всего пространства. Постоянный множитель в формуле (18), очевидно, никакой роли не играет. Из формулы (17) получаем разложение любого вектора

причем слагаемые правой части принадлежат подпространствам Покажем, что эти подпространства определяемые формулой (18), совпадают с которые определялись уравнением (16). Действительно, если есть некоторый вектор из который определяется формулой (18), то в силу формулы Кейли имеем

т. е. всякий вектор из принадлежит Остается показать, что и, наоборот, всякий вектор из может быть получен по формуле (18) при определенном выборе Для этого подставим в (19) вместо вектор Поскольку каждый полином при

содержит множитель мы имеем в силу (16), которое служит определением

и, таким образом, получаем из (19) при замене на

т. е. вектор действительно получается по формуле (18), если вместо мы возьмем сам вектор

Рассуждения, совершенно аналогичные предыдущим, мы будем иметь и для случая кратных корней характеристического уравнения. Это даст нам возможность разбить все пространство на полную систему подпространств, инвариантных по отношению к линейному преобразованию, совершаемому матрицей А. Для каждого из этих подпространств характеристическое уравнение будет иметь все корни

одинаковые, и вторым шагом в нашем преобразовании будет такой выбор ортов в этом пространстве, при котором мы приходим к основной формуле (1).