127. Связь с регулярными решениями типа Фукса.

Вернемся к рассмотрению канонического решения в особой точке .

Для отчетливости будем считать, что порядок матриц т. е. что имеется система двух уравнений с двумя искомыми функциями. Пусть матрица, приводящая к диагональной форме:

Рассмотрим интегральную матрицу

или

где регулярна в точке . Обозначим элементы этой последней матрицы:

где - функции, регулярные при . Принимая во внимание, что

мы будем иметь

Каждая строка этой матрицы содержит решение написанной системы [122]. Мы имеем, таким образом, два решения системы, имеющих такой же вид как и решения одного регулярного уравнения в теореме Фукса [101]:

В этих формулах первый значок дает номер решения, а второй — номер функции. Заметим еще, что из определения следует что

где есть матрица с определителем, отличным от нуля. Число есть очевидно, свободный член в разложении в ряд Тейлора по степеням

Числа которые в [101] являлись корнями определяющего уравнения, в настоящем случае определяются из характеристического уравнения матрицы . В работах И. А. Лаппо-Данилевского интегральная матрица называется не канонической, а метаканонической в особой точке При такой терминологии матрицу можно назвать канонической в точке