123. Регулярная особая точка.

Рассмотрим такую особую точку системы, которая является полюсом не выше первого порядка для коэффициентов. Считая для простоты письма, что эта точка есть начало мы можем написать нашу систему в следующем виде:

- регулярные функции в точке

Будем искать решение системы (306) в виде

Подставляя в систему и сравнивая коэффициенты при мы получим систему однородных уравнений для определения коэффициентов

и дальше, сравнивая коэффициенты при , будем иметь систему уравнений для определения коэффициентов когда предыдущие коэффициенты при известны:

где суть линейные однородные функции коэффициентов при . Все эти вычисления совершенно аналогичны вычислениям из [101]. Обозначим через /(р) определитель однородной системы:

Для того чтобы получить решение системы (309), отличное от нулевого, мы должны приравнять этот определитель нулю:

при дальнейшем решении неоднородных систем нам надо, чтобы определитель этих систем был отличен от нуля. Этот определитель получается из определителя системы (309) заменой на т. е. он равен . Пусть некоторый корень уравнения (312) такой, что числа , где k — любое целое положительное число, уже не являются корнями уравнения (312). При этом наши предыдущие вычисления окажутся формально выполнимыми, и мы сможем построить ряды, формально удовлетворяющие системе. Можно показать, как и в что эти ряды будут сходиться в тим круге , где сходятся ряды (307).

Если корни уравнения (312) различны и отличаются друг от друга не на целое число, то предыдущий прием дает нам возможность построить линейно независимых решений системы (306). В противном случае, как и в [101], мы будем, вообще говоря, кроме решений вида (308) иметь еще решения, содержащие .

Запишем систему в матричной форме:

где Q есть матрица, состоящая из функций , регулярных при . Мы можем представить эту матрицу в виде ряда, расположенного по целым положительным степеням х:

где — матрицы с постоянными элементами, в частности, матрица состоит из элементов матрица — из элементов и т. д. Система (306) перепишется в виде

Будем искать решение этой системы в виде

где W и искомые матрицы. Мы имеем

Подставляя в уравнение (313) и умножая слева на получим

Сравнение свободных членов дает

и далее, сравнивая коэффициенты при будем иметь систему матричных уравнений для последовательного определения матриц

или

Не останавливаясь на исследовании этой системы в общем случае, мы разберем лишь тот частный случай, когда матрица приводится к диагональной матрице, т. е. когда существует такая матрица с постоянными элементами и определителем, отличным от нуля, что

причем суть как раз корни уравнения (312).

Введем вместо У новую искомую матрицу по формуле

Подставляя в уравнение (313) и умножая справа на получим для матрицы систему вида

где

и, в частности,

Ищем, как и выше, решение системы (315) в виде

Подставляя, получим а следующие коэффициенты определяются из уравнений вида

где матрица, которая выражается через предыдущие матрицы при Принимая во внимание, что есть диагональная матрица (316), мы получим, согласно уравнению (317), для элементов матрииы

т. е.

Если разность корней уравнения (312) не есть целое число, то это и дает возможность определения всех коэффициентов. Заметим, что если среди корней уравнения (312) есть равные, но матрица приводится к диагональной форме (имеет простые элементарные делители), то предыдущие вычисления сохраняют свою силу.

Мы не касались в наших рассуждениях вопросов сходимости, которые, как мы уже упоминали, можно провести аналогично тому, как это было сделано в 1101]. Заметим, кроме того, что мы считали выше, что свободный член в искомом решении уравнения (313)

равен единичной матрице. Это не является существенным. Важно лишь, чтобы он был матрицей с определителем, отличным от нуля. Действительно, пусть

где . Возьмем новое решение

Но для любой аналитической функции от матрицы, как мы знаем,

так что, например,

и, следовательно, новое решение будет

Аналогично можно рассуждать и при решении уравнения (315).