192. Первый этап преобразований в случае кратных корней.

Положим, что характеристическое уравнение (9) имеет корень кратности корень кратности и т. д. и, наконец, корень кратности Разлагая на простейшие дроби, мы будем иметь формулу вида

где полином от z степени не выше причем Введем в рассмотрение полиномы

Мы имеем, очевидно, тождество

или, заменяя аргумент z матрицей А, получим

Таким образом, для любого вектора мы получим представление в виде суммы векторов

Определим теперь некоторые подпространства а именно положим, что есть подпространство, определяемое формулой

Мы увидим дальше, что каждое из этих подпространств будет не пустым. Обозначим через любой вектор из подпространства Мы докажем, прежде всего, следующие две формулы:

Действительно, по определению

где некоторый вектор полного пространства. Поэтому в силу (20)

Если и q различны, то дробь, стоящая в правой части равенства, представляет собой полином, содержащий множителем в силу тождества Кейли, этот полином будет представлять собою матрицу, равную нулю, что и доказывает первую из формул (23). Для доказательства второй формулы достаточно в формуле (21) положить и принять во внимание первую из формул (23). Мы получим, таким образом, непосредственно вторую из этих формул. Покажем теперь, что эти подпространства образуют полную систему подпространств. Формула (21) показывает, что всякий вектор может быть представлен в виде суммы векторов из подпространств Нам остается только показать, что между векторами из этих подпространств не может существовать линейной зависимости. [Положим, что такая линейная зависимость существует:

где вектор принадлежит подпространству Нам надо показать, что если отлично от нуля, то коэффициент должен равняться нулю. Применяя к обеим частям равенства (24) линейное преобразование мы получим в силу (23)

что и доказывает наше утверждение.

Таким образом, построенные подпространства действительно образуют полную систему подпространств, и сумма их измерений должна быть равна , т. е. числу измерений полного пространства.

Можно определить каждое из подпространств иначе, чем это было сделано выше, а именно покажем, что подпространство определяется уравнением вида

т. е. представляет собою совокупность векторов, удовлетворяющих этому уравнению. Действительно, положим сначала, что имеется некоторый вектор определяемый формулой (22), и покажем, что он удовлетворяет уравнению (25). Действительно, подставляя выражение

вместо в уравнение (25), мы получим в левой части этого уравнения выражение

и в силу тождества Кейли результат будет действительно равен нулю. Остается теперь показать обратное, а именно, что всякое решение уравнения (25) может быть получено по формуле (22) при некотором выборе Более точно мы покажем, что из уравнения

вытекает

Действительно, в силу (21) мы имеем

Но каждый из полиномов к содержит множитель и, следовательно, в силу (26), мы имеем при откуда и вытекает формула (27).

Вернемся к рассуждениям из Если есть некоторый корень характеристического уравнения, то, подставляя его вместо X в коэффициенты системы (105), мы получим однородную систему с определителем, равным нулю, и, таким образом, сможем построить для нее решение, отличное от нулевого. Это решение будет удовлетворять уравнению

а потому и подавно уравнению (25), т. е. будет входить в состав подпространства которое, следовательно, не пусто.

Из вида уравнения (25) непосредственно вытекает, что каждое из подпространств будет инвариантным по отношению к преобразованию, совершаемому матрицей А Действительно, если некоторый вектор удовлетворяет уравнению (25), то непосредственно очевидно, что и вектор будет удовлетворять этому же уравнению, так как

Пусть числа измерений подпространств Выбирая основные орты в этих подпространствах, как это было указано в предыдущем номере, перейдем от матрицы А к подобной матрице, имеющей квазидиагональпую форму,

причем составляющие матрицы будут иметь порядок Мы покажем сейчас, что числа совпадают с кратностями корней характеристического уравнения, и что каждая из матриц имеет единственное характеристическое число кратности

Для доказательства возьмем любой вектор из подпространства Он должен удовлетворять уравнению (25). При новом выборе ортов это уравнение перепишется в виде

Но мы имеем, например,

так что предыдущее уравнение можно переписать в виде

или

Рассмотрим, например, случай

В данном случае у вектора все составляющие, кроме первых будут равны нулю, и вместо (29) мы можем написать уравнение

где через мы обозначили произвольный вектор в пространстве, имеющем измерений, и матрица будет матрицей порядка Поскольку уравнение (30) должно иметь место при любом векторе мы должны иметь

Отсюда, конечно, следует, что все характеристические числа матрицы должны равняться нулю. Но эти характеристические числа получаются из характеристических чисел матрицы сих путем возведения этих последних в степень и, следовательно, все характеристические числа матрицы — равны нулю, а все характеристические числа матрицы равны Совершенно так же можно показать вообще, что все характеристические числа матрицы порядка равны Но матрица (28), подобная должна иметь те же характеристические числа, что и матрица А. Ее характеристическое уравнение имеет вид

или

Отсюда вытекает непосредственно, что должны совпадать с и что матрица имеет единственное характеристическое число а кратности .