119. Асимптотика при большом значении параметра.

Прежде чем переходить к аналитической теории систем линейных дифференциальных уравнений, мы рассмотрим два вопроса для линейных уравнений второго порядка без предположения аналитичности коэффициентов уравнений, а именно: асимптотику решений уравнений при больших значениях параметра, входящего в уравнения, и уравнения с периодическими коэффициентами. Начнем с первого вопроса, который мы рассмотрим кратко, не останавливаясь на подробных доказательствах.

Мы будем рассматривать уравнение вида

где функции вещественные функции, определенные на конечном промежутке параметр. Отметим, что уравнение более общего вида

приводится к случаю (242) заменой

В дальнейшем будем предполагать, что непрерывна с производными до второго порядка на замкнутом промежутке непрерывная функция. Существенную роль при исследовании решений уравнения (242) при больших значениях X играет знак

Рассмотрим сначала тот случай, когда на промежутке При больших X коэффициент является превалирующим, и целью дальнейшего преобразования уравнения (242) является такое его преобразование, при котором этот превалирующий коэффициент приведется просто к Для этого вместо введем новую независимую переменную и вместо у — новую функцию v по формулам

Интервал преобразуете в некоторый новый интервал , а уравнение (242), как нетрудно проверить, приводится к виду

где

есть непрерывная на функция. Напомним, что неоднородное уравнение

имеет общее решение [II, 34]

где любое фиксированное значение из промежутка . В случае уравнения (243) роль играет и уравнение (244) приводится к интегральному уравнению

к решению которого можно применить метод последовательных приближений. В качестве нулевого приближения берем

а последующие поправки определяются формулами

Непрерывная функция ограничена на промежутке где некоторая постоянная. По индукции нетрудно - доказать неравенство

из которого следует, что ряд

равномерно сходится на промежутке . Его сумма удовлетворяет уравнению (245), т. е. уравнению (243). Далее из оценок (246) следует, что

равномерно относительно т. Таким образом, имеем

или, возвращаясь к исходным переменным х и у, получаем асимптотику решений уравнения (242) при больших X:

Мы могли бы вместо конечного промежутка рассматривать и бесконечный промежуток в одну или обе стороны. При этом остаточный член имеет равномерную оценку , где А — положительная постоянная во всяком конечном промежутке изменения но величина А зависит от выбора конечного промежутка и может беспредельно возрастать при его расширении.

В связи со сказанным выше сделаем одно замечание. Рассмотрим уравнение

где положительная непрерывная периодическая функция на бесконечном промежутке Для любого конечного промежутка мы можем применить формулу (248), но нельзя утверждать, что решения уравнения (249) будут ограниченными функциями на всем бесконечном промежутке, хотя первые два слагаемых правой части дают, очевидно, ограниченную функцию на всем бесконечном промежутке, ибо , где — некоторая постоянная, на всем бесконечном промежутке в силу периодичности. Оказывается, что в рассматриваемом случае может иметь место следующий факт: при одних значениях X все решения уравнения (249) — ограниченные функции на бесконечном промежутке, а при других значениях X этого свойства ограниченности всех решений уже не будет. Более подробно мы об этом будем говорить в дальнейшем, при исследовании уравнений с периодическими коэффициентами.

Совершенно аналогично случаю можно рассмотреть и случай на конечном промежутке и вместо тригонометрических функций, входящих в формулу (248), получатся показательные функции

Переходим теперь к более сложному случаю, когда в уравнении

меняет знак на рассматриваемом промежутке. Не ограничивая общности можем считать, что находится внутри где при . В данном случае основным «эталонным» уравнением является уравнение Эйри

Относительно гладкости делаются прежние предположения. Рассмотрим сначала случай Будем искать решение уравнения (251) в виде

где любое решение уравнения (252), а функции выбираются так, чтобы в полученном после подстановки в (251) уравнении сократились члены с положительными степенями большого параметра X. Таким путем мы придем к приближенному решению уравнения (251):

где

Функция (253) в точности удовлетворяет уравнению

где

При любом уравнение (251) можно записать в виде

где

Функция непрерывна при

В дальнейшем мы будем придерживаться и пользоваться результатами и обозначениями из [118].

Теорема 1. Существуют решения уравнения (251), имеющие при вид

где непрерывки при и имеют место оценки

где постоянная С не зависит ни от ни от X.

Напомним, что вещественные решения уравнения (252), причем при

Наметим доказательство утверждения для Для оно аналогично. Применяя метод вариации произвольных постоянных к уравнению (251 i), получим для решений уравнения (251), которое совпадает с интегральное уравнение

где - решения уравнения (254):

и — определитель Вронского этих двух решений. Для него нетрудно получить . Положим и введем в уравнение (257) вместо новую функцию

Для получим уравнение

Выбор нижнего предела интегрирования служит для оценки вычитаемого в квадратной скобке. При доказательстве теоремы для в уравнении (257) надо положить и выбрать нижний предел интегрирования равным нулю. При дальнейшем доказательстве используется следующая

Лемм а. Если в интегральном уравнении на конечном промежутке

с непрерывным в квадрате ядром и непрерывной функцией выполнено условие

то уравнение (259) имеет единственное решение причем

где

Кроме того, если непрерывно зависит от параметра X, который меняется на конечном или бесконечном промежутке, причем выполнено условие (261) и М не зависит от X, то будет непрерывной функцией переменных и X.

Доказательство леммы легко проводится методом последовательных приближений.

Из упомянутой леммы следует, что для доказательства сформулированной теоремы достаточно установить оценку

где С не зависит ни от ни от X.

Кратко наметим путь получения этой оценки. Буквой С будем обозначать различные постоянные (не зависящее от X). Из определения дует, что и, принимая во внимание формулы и (237), получаем

откуда следует

Интеграл

имеет еще меньший порядок по X. Переходим к его оценке

Положив , получим

Легко проверить, что Используя это и применяя к написанной выше дроби правило Лопиталя, получим, что ее предел при равен пределу а в силу (237) этот предел равен нулю. Из указанных выше оценок непосредственно следует и требуемая оценка. Сформулированная выше лемма дает для решения интегрального уравнения (259)

откуда в силу (258) следует утверждение теоремы 1.

Для случая функция определяется равенством

На всем промежутке функция является гладкой и

Функции входящие в теорему 1, имеют, очевидно, смысл и на промежутке Используя асимптотику, выражаемую формулами (237), получаем:

Теорема 2. Решения уравнения (251) имеют при вид

где — функции допускающие оценку

причем С не зависит ни от ни от X.

Доказательство этой теоремы, основанное на исследовании интегрального уравнения (257), мы подробно приводить не будем. Отметим лишь, что интегральное уравнение для имеет вид

и интеграл представляется в виде суммы двух интегралов по промежуткам . В первом из интегралов можно использовать асимптотику из теоремы 1, после чего этот интеграл приводит к выражению

а в интеграле по промежутку вводится вместо новая искомая функция:

Замечание. Отметим еще, что появление и в остаточном члене связано с тем, что в точках где первый член формулы для не является главным.

Можно было бы вместо и использовать и решения уравнения Эйри [118], имеющие комплексные значения при вещественном t. Результат получился бы следующий:

Теорема 3. При существуют решения уравнения непрерывные при и такие, что

определена формулами функции Эйри, и имеют оценку

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1, но несколько проще.