142. Функция Лежандра.

Напишем уравнение Лежандра:

и будем считать комплексным переменным, причем может обозначать любое число. Уравнение (118) имеет в особых точках оба корня определяющего уравнения, равные нулю [105]. Таким образом, в обеих этих точках будет один регулярный интеграл и один интеграл, содержащий логарифм, причем этот последний интеграл не ограничен в окрестности, соответствующей особой точке.

Попытаемся удовлетворить уравнению (118) интегралом вида (13), который давал полином Лежандра при целом положительном :

Подставляя в уравнение (118), получим

откуда видно, что формула (119) дает решение уравнения (118), если при обходе переменной t по контуру О выражение

возвращается к исходному значению. При нецелом подинтегральная функция в интеграле (119) имеет три точки разветвления: . При обходе вокруг точки или против часовой стрелки числитель приобретает множитель и при обходе точки знаменатель приобретает множитель Проведем на плоскости комплексного переменного t разрез от до вдоль вещественной оси и в качестве контура С возьмем замкнутый контур, выходящий из некоторой точки А (лежащей на вещественной оси правее точки и обходящий против часовой стрелки вокруг точек

Рис. 73.

Мы считаем, что не находится на разрезе и что контур С не пересекает разреза. Исходное значение многозначной подинтегральной функции определяется из условий при . В силу сказанного выше выражение (120) возвращается к исходному значению, когда t пробегает контур С. Отметим еще, что, в силу теоремы Коши, величина интеграла не зависит от выбора точки А на вещественной оси правее и от вида контура. Существенно лишь, что контур не пересекает упомянутого выше разреза.

Таким образом, мы получаем решение уравнения (118)

где С — описанный выше контур. Это решение есть регулярная функция от на всей разрезанной указанным выше образом плоскости и, в частности, в точке Но, как мы видели [105], уравнение (118) получается из уравнения Гаусса при если заменить независимую переменную z уравнения Гаусса на Поскольку решение (121) регулярно при

т. е. при оно должно совпадать с точностью до множителя с гипергеометрическим рядом

Для определения С вычислим

и, вычисляя последний интеграл по теореме о вычетах, получим после чего формула (122) при дает т. е.

При целом положительном мы получаем полином Лежандра. Кроме того, из формулы (123) в силу того, что не меняется при перестановке следует, что при любом

Пользуясь формулой (121), можно непосредственно проверить соотношения (37), (39) и (40) из [133]. Функция как решение уравнения (118) имеет, вообще говоря, особые точки Формула (121) дает представление этой функции на всей плоскости с указанным разрезом.