61. Представление некоторых функций контурными интегралами.

Пользуясь теорией вычетов, можно легко составить контурные интегралы, представляющие прерывные функции.

Рассмотрим, например, функцию которая равна нулю при и единице при , т. е.

Покажем, что такая функция может быть представлена контурным интегралом вида

причем t входит как параметр под знак интеграла. Контуром интегрирования является вся вещественная ось, причем начало координат , являющееся полюсом для подинтегральной функции, обходится по полуокружности малого радиуса, лежащей в нижней полуплоскости и имеющей

центр в начале (рис. 55). Рассмотрим вспомогательный контур l который состоит не из всей вещественной оси, но лишь из ее отрезка (-R, R) с обходом начала и из полуокружности в верхней полуплоскости, имеющей центр в начале и радиус R. Если t > 0, то к интегралу (29) применима лемма Жордана, так что ийтеграл по полуокружности будет стремиться к нулю при возрастании R. Подинтегральная функция имеет внутри контура единственный полюс в начале с вычетом, равным единице, так что

Рис. 55.

Рис. 56.

Переходя к пределу, мы получаем

Положим теперь, что . Рассмотрим замкнутый контур, состоящий из прежнего отрезка вещественной оси с обходом начала и полуокружности радиуса R, находящейся не в верхней, а в нижней полуплоскости (рис. 56). Внутри этого контура наша функция вовсе не имеет особых точек, а потому интеграл по всему этому контуру будет равен нулю.

Покажем теперь, что при беспредельном возрастании R интеграл по нижней полуокружности будет стремиться к нулю. Действительно, если введем вместо z новую переменную интегрирования то нижняя полуокружность перейдет в верхнюю полуокружность и мы будем иметь

По условию , а следовательно, и лемма Жордана показывает, что последний интеграл действительно стремится к нулю. Таким образом, переходя к пределу, как и выше, получаем

Рассмотрим интеграл и при . Он будет иметь вид

Рассматривая, как и раньше, отрезок вещественной оси, мы должны будем вычислить приращение при движении вдоль этого отрезка с обходом начала. На концах пути вещественная часть будет иметь значение и, следовательно, не получит никакого приращения. Что же касается мнимой части, равной то при обходе начала по полуокружности она получит, очевидно, приращение , а на остальных участках пути остается неизменной. Таким образом, величина интеграла (30) вдоль отрезка равна . Следовательно, то же число мы получим и в пределе при т. е.

В данном случае было существенным, что верхний и нижний пределы стремились к имея одинаковые абсолютные значения, т. е. равенство (31) надо понимать в смысле главного значения интеграла в промежутке с обходом

Рис. 57.

Рис. 58.

Интеграл (29) при будет сходящимся в обычном смысле слова относительно бесконечных пределов. Действительно, отделяя вещественную и мнимую части, мы будем иметь интегралы вида

Сходимость второго из них мы доказали выше [II, 86]. Так же можно доказать и сходимость первого интеграла.

Итак, при интеграл (29) дает функцию (28). При он существует только в смысле главного значения, и его величина равна

Рассмотрим теперь второй пример, когда функция равна нулю везде, кроме некоторого конечного отрезка, где она обращается в единицу, т. е.

(32)

Нетрудно представить эту функцию как разность двух функций указанного типа, а именно:

Оба члена обращаются в нуль при . В промежутке уменьшаемое равно единице, а вычитаемое еще равно нулю, и, следовательно, вся

разность равна единице. Наконец, при и уменьшаемое и вычитаемое равны единице, а вся разность обращается в нуль, так что мы действительно получаем функцию (32). График этой функции указан на рис. 57.

Рассмотрим теперь функцию, которая равна нулю при а затем, начиная с убывает по показательному закону от значения, равного единице:

График этой функции изображен на рис. 58. Нетрудно проверить, что эта функция может быть представлена контурным интегралом вида

где контур интегрирования идет по вещественной оси. Доказательство этой формулы будет буквально таким же, как и для формулы (29). В данном случае только вычет функции

в полюсе будет равен

Рассмотрим наконец функцию, равную нулю при и представляющуюся синусоидой при

Так же, как и выше, нетрудно показать, что эту последнюю функцию можно представить в виде контурного интеграла

где контур интегрирования идет по вещественной оси и обходит полюс подинтегральной функции. В данном случае вычет подинтегральной функции в этом полюсе будет равен

так что, отделяя вещественную часть, мы и получаем формулу (37).

Рис. 59.

Иногда выведенные формулы пишут в другом виде, а именно применяют интегрирование не по вещественной, а по мнимой оси, причем обход полюса совершается с правой стороны, т. е. с той стороны от мнимой оси, где вещественная часть комплексного числа положительна. Чтобы получить этот новый контур интегрирования, достаточно повернуть плоскость вокруг начала на угол против часовой стрелки, т. е. ввести вместо z новую переменную z по формуле или Вводя эту новую переменную, мы вместо

формулы (29) будем иметь

В формуле (35) мы будем иметь значение уже не на мнимой оси, а на отрицательной части вещественной оси, и таким образом получим для функций представление вида

Точно так же для функции будем иметь представление вида

Содержание настоящего номера непосредственно связано с так называемые преобразованием Лапласа, о котором мы будем говорить в томе IV.