10. Изолированные особые точки.

Мы обращаемся теперь к исследованию возможных изолированных особых точек регулярных функций. Положим, нам известно, что однозначна и регулярна лишь в окрестности точки Например, функции и

на всей плоскости, кроме регулярны, а в точке уже не регулярны и даже теряют непрерывность. Особые точки указанного выше типа называются изолированными особыми точками. Мыслимы три случая: 1) при всех значениях z, близких к функция ограничена; при не остается ограниченной при близких к а, но и не стремится при Примером для второго случая является в точке Примером для третьего случая является Эта функция стремится к нулю, если z, принимая отрицательные значения, стремится к нулю, т. е. если

Остается рассмотреть первый случай. Мы докажем, что в этом случае стремится к определенному пределу при , и если этот предел принять за то будет регулярной и в самой точке

Действительно, окружим точку двумя окружностями радиусов и R с центрами причем Если z находится внутри кольца, образованного этими окружностями, то по формуле Коши мы будем иметь

Покажем теперь, что второе слагаемое в правой части стремится к нулю, если стремится к нулю. Отсюда, как и при доказательстве формулы Коши, будет вытекать, что это второе слагаемое просто равно нулю. Условие ограниченности модуля функции в окрестности дает нам где - некоторое положительное число.

Мы имеем заменим модуль этой разности меньшей величиной:

причем на Таким образом, имеем для упомянутого слагаемого следующую оценку:

отсюда непосредственно и следует, что это слагаемое стремится к нулю при Таким образом, предыдущая формула дает нам

т. е. при всех близких к выражается интегралом типа Коши и, следовательно, представляет собою функцию, регулярную везде, включая и точку

Особые точки второго типа называются полюсами, т. е. если однозначна и регулярна в некоторой окрестности при то точка называется полюсом Особые точки третьего типа называются существенно особыми точками, т. е. если однозначна и регулярна в окрестности точки но не ограничена в этой окрестности и не стремится к бесконечности при а, то точка называется существенно особой точкой

Докажем одну теорему, касающуюся значений функции в окрестности существенно особой точки. Она впервые была доказана Ю. В. Сохоцким.

Теорема. Если — существенно особая точка то при изменении z в произвольном малом круге с центром есть значения сколь угодно близкие к любому наперед заданному комплексному числу.

Утверждение теоремы заключается в следующем. Пусть у — произвольное заданное комплексное число и — произвольное заданное положительное число. При этом в любом малом круге с центром а существуют такие точки , в которых Будем доказывать теорему от обратного. Пусть существует такое комплексное число р, что во всех точках некоторого круга С с центром а выполняется неравенство где — некоторое положительное число. Составим новую функцию:

Она регулярна в круге С (кроме, может быть, и ограничена по модулю:

Следовательно, по доказанному выше, она регулярна и в точке , и значит при функция стремится к конечному пределу. При этом

при также должна была бы стремиться к конечному пределу, если предел отличен от нуля, или к бесконечности, если предел равен нулю, но обе эти возможности противоречат определению существенно особой точки.

Можно доказать более точную теорему, а именно:

Теорема Пикара. Если существенно особая точка то в любом сколь угодно малом круге с центром а функция f(z) принимает бесчисленное множество раз всякое комплексное значение, кроме, может быть, одного.

Доказательство этой теоремы гораздо более сложно, чем доказательство предыдущей теоремы, и мы не будем его приводить.

Мы только проверим теорему для функции имеющей существенно особой точкой.

Возьмем любое комплексное число а, отличное от нуля, и напишем уравнение:

Вспоминая правило логарифмирования комплексного числа, получим корни уравнения (46):

где аргумент числа а, заключающийся в промежутке , и k — любое целое число. Беря его сколь угодно большим по абсолютной величине, будем получать корни уравнения (46), сколь угодно близкие к нулю. Таким образом, функция в любом сколь угодно малом круге с центром в начале принимает бесчисленное множество раз любое наперед заданное значение, кроме нуля. Нетрудно показать, что функция в любом круге с центром в начале принимает бесчисленное множество раз любое комплексное значение без всякого исключения.

Полюсы и существенно особые точки являются изолированными особыми точками, т. е. в некоторой окрестности этих точек функция регулярна. В дальнейшем при исследовании многозначных функций мы встретимся еще с одним типом изолированных особых точек, а именно с точками разветвления.