169. Общие свойства эллиптических функций.

Пусть какие-нибудь два комплексных числа, отношение которых не есть число вещественное. Функция называется эллиптической, если есть дробная функция с двумя периодами т. е.

тождественно при всяком и. Иначе говоря, прибавление к аргументу или не меняет значения функции. Из формулы (30) следует и более общая формула

где любые целые числа, положительные или отрицательные.

Рис. 80.

Поясним геометрически свойства двоякой периодичности. Отложим от какой-либо точки А плоскости и два вектора АВ и соответствующие комплексным числам Ввиду того, что отношение по условию не вещественно, эти векторы лежат на различных прямых, и мы можем построить на них параллелограмм ABCD. Совершая параллельный перенос этого параллелограмма на вектор мы покроем всю плоскость сеткой одинаковых параллелограммов (рис. 80). Переход от любого параллелограмма в соседний равносилен переходу от или и и в силу двоякой периодичности значения в соответствующих точках построенных параллелограммов будут одинаковы. Каждый из упомянутых параллелограммов называется параллелограммом периодов функции Заметим, что выбор упомянутой выше основной вершины А может быть сделан совершенно произвольно. Если мы возьмем, например, за основную вершину начало координат О, то вершины нашей сетки параллелограммов будут иметь комплексные координаты т. е. эти

вершины будут давать совокупность периодов функции указанных формулой (31) (рис. 81). Если мы возьмем какую-нибудь точку М плоскости и и через нее проведем прямые, параллельные нашим векторам то радиус-вектор, идущий из О в , будет геометрической суммой двух векторов, из которых один параллелен а другой и, таким образом, всякое комплексное число можно единственным образом представить в виде

где - числа вещественные. Эти числа будут косоугольными координатами точки и, если за основные орты принять векторы, соответствующие комплексным числам

Рис. 81.

Выше мы пользовались термином соответствующей точки двух параллелограммов сетки. Это суть такие две точки, разность комплексных координат которых есть период, т. е. выражается числом где и числа целые. В этом смысле всякой точке плоскости и соответствует некоторая точка из основного параллелограмма сетки. Если мы возьмем, например, сетку, изображенную на рис. 81, в которой основной вершиной является начало координат, то можем представить координату любой точки и в виде

где вещественные числа, удовлетворяющие условию числа целые. Заметим, что мы причисляем к каждому параллелограмму одну из его вершин и две

стороны, выходящие из этой вершины. Остальные стороны и вершины получаются из указанных добавлением периода.

Переходим теперь к выяснению основных свойств эллиптических функций. Дифференцируя тождество (31) раз, получим

т. е. производные эллиптической функции будут тоже эллиптическими функциями с теми же периодами. Предположим дальше, что не имеет вовсе полюсов, т. е. является по существу целой функцией. Ее параллелограмм периодов есть ограниченная часть плоскости, и в этом параллелограмме, включая его контур, она регулярна, а следовательно, и подавно непрерывна, а потому и ограничена, т. е. существует такое положительное число что в основном параллелограмме периодов выполняется неравенство . В остальных параллелограммах сетки значения повторяются, и, следовательно, написанное неравенство выполнено на всей плоскости, т. е. есть целая функция, ограниченная на всей плоскости. Согласно теореме Лиувилля, мы можем утверждать, что такая функция должна быть постоянной величиной, т. е. мы имеем следующую теорему:

Теорема I. Если есть целая, двояко-периодическая функция, то есть величина постоянная.

Высказанная теорема представляется весьма важной по тем двум следствиям из нее, которые мы сейчас установим. Пусть две эллиптические функции с одинаковыми периодами и Положим, что они имеют в параллелограмме периодов одинаковые полюсы, с одинаковыми бесконечными частями. При этом разность будет двояко-периодической функцией без полюсов, т. е. эта разность будет целой двояко-периодической функцией, и из теоремы вытекает, что эта разность должна быть постоянной величиной. Итак, мы имеем:

Следствие I. Если две эллиптические функции с одинаковыми периодами имеют в параллелограмме периодов одни и те же полюсы, с одинаковыми бесконечными частями, то они отличаются лишь постоянным слагаемым.

Положим теперь, что имеют в параллелограмме периодов одни и те же полюсы, одинаковой кратности, и одни и те же корни, одинаковой кратности. При этом отношение не будет вовсе иметь в параллелограмме ни корней, ни полюсов и должно равняться постоянной величине, т. е. мы имеем:

Следствие II. Если две эллиптические функции с одинаковыми периодами имеют в параллелограмме периодов одинаковые корни и полюсы, одной и той же кратности у обеих функций, то эти функции отличаются лишь постоянным множителем.

Расположим параллелограмм периодов функции так, чтобы полюсы этой функции не находились на его сторонах, и рассмотрим контурный интеграл от функции по контуру параллелограмма

Возьмем интеграл по стороне CD и введем вместо и новую переменную интегрирования При этом на плоскости v сторона CD перейдет в сторону ВАУ и в силу периодичности функции будем иметь

т. e. в правой части формулы (32) сумма первого и третьего слагаемого даст нуль. То же самое можно утверждать и относительно суммы второго и четвертого слагаемого, и мы имеем, следовательно,

т. е. если на контуре параллелограмма не лежат полюсы эллиптической функции то контурный интеграл от этой функции по кон туру параллелограмма равен нулю.

Рассмотрим такое комплексное число а, что уравнение не имеет корней на контуре параллелограмма. Применим предыдущий результат к эллиптической функции

Мы получим, таким образом,

Написанный интеграл выражает, как известно, разность между числом корней и числом полюсов функции и, следовательно, можно утверждать, что число корней уравнения равно числу полюсов а, или, что то же, числу полюсов т. е. функция внутри параллелограмма принимает одинаковое число раз значение а и значение бесконечность.

Это доказано нами для любого а в предположении, что уравнение не имеет корней на контуре параллелограмма. Если это не так, то сдвинем немножко наш параллелограмм так, чтобы корни упомянутого уравнения пошли внутрь параллелограмма, а полюсы попрежнему бы оставались внутри его. Для сдвинутого параллелограмма наш предыдущий результат будет справедливым. Нетрудно видеть, что он будет справедливым и для первоначального параллелограмма

если только при счете числа корней уравнения мы будем присоединять к параллелограмму одну его вершину и две стороны, выходящие из этой вершины. Заметим, кроме того, что если уравнение имеет корень и вблизи этого значения имеет место разложение вида

то такой корень надо считать корнем кратности k для функции а или для упомянутого выше уравнения. При всех этих оговорках мы получаем из предыдущих рассуждений следующую теорему:

Теорема II. Эллиптическая функция принимает в параллелограмме периодов всякое значение (конечное или бесконечное) одинаковое число раз.

Если принимает в параллелограмме периодов всякое значение раз, то она называется эллиптической функцией порядка . Такая функция преобразует параллелограмм периодов в -листную риманову плоскость. Конформность преобразования может при этом нарушиться лишь в тех точках, где обращается в нуль, или там, где имеет кратные полюсы. Этим значениям и будут соответствовать точки разветвления упомянутой выше римановой поверхности.

Мы покажем сейчас, что целое положительное число не может равняться единице. Действительно, из формулы (33) непосредственно вытекает, что сумма вычетов эллиптической функции в ее полюсах, находящихся в параллелограмме периодов, должна равняться нулю. Если бы мы имели то имела бы в параллелограмме один простой полюс, что прямо противоречит только что высказанному результату. Таким образом, мы видим, что не существует эллиптических функций первого порядка. Дальше мы построим фактически эллиптические функции второго порядка. Можно показать, что эллиптические функции второго порядка суть как раз те эллиптические функции, которые получаются в результате обращения эллиптического интеграла первого рода. Существуют, конечно, и эллиптические функции более высокого порядка.