135. Доказательство сходимости.

Докажем теперь, что произвольная функция заданная на поверхности сферы и удовлетворяющая там Некоторым условиям, разлагается в ряд (56) по сферическим функциям.

Принимая во внимание формулу (57), получим следующее выражение для суммы первых слагаемых ряда (56):

Введем новые географические координаты , помещая северный полюс в точку, которая раньше имела географические координаты При этом функция будет в новой системе координат некоторой функцией новых координат, и мы будем иметь те

Введем новую функцию , которая представляет собою среднее значение функции на различных параллелях в новой системе координат:

Введем новую переменную и положим

Интегрируя в формуле (61) по переменной (3, мы можем переписать ее в виде

или

т. e. в силу (41)

Будем считать, что функция такова, что имеет непрерывную производную в промежутке Интегрируя при этом по частям, получим

или, принимая во внимание

будем иметь

Выясним теперь значение первого слагаемого справа. В силу (62) и (63) мы имеем

Но точка при при произвольном представляет собой северный полюс сферы или, что то же, прежнюю точку с географическими координатами Иначе говоря, не зависит от и формула (65) дает

Таким образом, мы можем переписать формулу (61) в виде 1

Нам надо доказать, что

т. е. нам надо доказать, что интеграл, стоящий в формуле (66), стремится к нулю при беспредельном возрастании п. Пусть М — наибольшая величина абсолютного значения непрерывной функции в промежутке Упомянутый интеграл по абсолютному значению будет меньше следующего выражения:

Нам остается, следовательно, только показать, что интеграл

стремится к нулю при возрастании n. Применяя неравенство Буняковского

или, в силу (19)

откуда и вытекает непосредственно, что интеграл (67) стремится к нулю при .

Указанный прием доказательства теоремы разложения по сферическим функциям взят нами из книги Вебстер-Сеге «Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики». Тот факт, что произвольная функция, удовлетворяющая указанным выше условиям общего характера имеет непрерывную производную], разлагается по сферическим функциям, указывает на то, что сферические функции образуют замкнутую систему [II, 155] на поверхности единичной сферы. Впервые эта замкнутость системы сферических функций была доказана А. М. Ляпуновым (1899 г.).