12. Теорема Вейерштрасса.

Если члены ряда (51) суть регулярные функции в некоторой замкнутой области В с контуром l и этот ряд равномерно сходится на контуре l, то он равномерно сходится во всей замкнутой области В, его сумма есть регулярная функция внутри области В и этот ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз.

Обозначим через переменную точку контура l. Ряд

по условию равномерно сходится, и, следовательно, мы имеем неравенство вида

Написанная конечная сумма регулярных функций есть также регу лярная функция в замкнутой области В, и, следовательно, согласно принципу модуля, из предыдущего неравенства вытекает такое же неравенство, справедливое для всей области [9]:

откуда и следует, что ряд (51) равномерно сходится во всей замкнутой области.

Обозначая сумму ряда (53) через (непрерывная функция на ), помножим все члены ряда на

где z — некоторая точка внутри области В:

Этот ряд также равномерно сходится на контуре и, интегрируя его по этому контуру почленно, будем иметь

Но для регулярных функций мы имеем формулу Коши, и, следовательно, последнюю формулу можем переписать в виде

Отсюда видно, что сумма ряда (51) внутри области В представляется интегралом типа Коши и, следовательно, есть регулярная функция. Обозначим эту сумму через

Заметим, что из доказанной выше равномерной сходимости ряда (51) во всей замкнутой области В следует, что будет непрерывной в замкнутой области В, и формула (54) представляет собою просто формулу Коши для этой функции

Остается только доказать вбзможность почленного дифференцирования ряда (51) сколько угодно раз. Для этого помножим (53) на

где — некоторое целое положительное число, и проинтегрируем по I:

В силу формулы Коши и формулы (54) можем записать последнее выражение в виде

что и доказывает возможность почленного дифференцирования ряда раз внутри области. В следующем номере мы применим эту теорему к рядам частного типа, с которыми и будем иметь почти исключительно дело в дальнейшем, а именно к степенным рядам.

Замечание 1. Пользуясь обычной оценкой интегралов, нетрудно убедиться, что ряд (55), составленный из производных, равномерно сходится во всякой области которая вместе со своим контуром лежит внутри В. Образуем для ряда (55) обычное выражение

Пользуясь представлением производной по формуле Коши, получим

Пусть S — кратчайшее расстояние от контура области до контура l (рис. 7). Применяя к написанному интегралу обычную оценку, получим

где - длина контура . Ввиду равномерной сходимости ряда (53), последний множитель правой части будет сколь угодно малым при больших что и дает равномерную сходимость ряда (55). Так же нетрудно показать, что если В — односвязная область, то ряд, полученный почленным интегрированием:

где а — некоторая точка из В, сходится равномерно в [ср. I, 146]. Члены этого ряда — регулярные, однозначные в В функции от .

Рис. 7.

Замечание 2. Мы могли бы формулировать теорему Вейерштрасса, пользуясь не рядами, а последовательностями функций [I, 144]; если имеется последовательность функций, регулярных в замкнутой области В с контуром и эта последовательность равномерно стремится к пределу на контуре то она равномерно стремится к пределу и во всей замкнутой области В, предельная функция регулярна внутри В и при всяком целом положительном имеем внутри В