26. Дополнительные сведения о формуле Коши.

Используя интеграл Лебега, можно получить простые законченные результаты о предельных значениях функций, регулярных в некоторой области, на границе l этой области, и об условиях применимости формулы Коши. Напомним и уточним понятия, связанные с границей. В [5] мы определили простую замкнутую кривую. Если в параметрическом представлении такой кривой ограничиться лишь предположением в непрерывности функций то соответствующая кривая называется замкнутой кривой Жордана. Строго доказывается, что такая кривая l является границей двух областей плоскости, из которых одна лежит внутри и другая вне l. Мы будем сейчас предполагать, что есть гладкая кривая, так что ее уравнение может быть записано в виде где s — длина дуги отсчитываемая от некоторой фиксированной точки вдоль . Если есть какая-либо функция, заданная на , то ее можно рассматривать, как функцию от s, заданную на промежутке , где L — длина . Контурный интеграл по сводится к интегралу по

где

Отделяя в вещественную и мнимую части: мы получим два вещественных интеграла, и интеграл (144) будет иметь смысл, если и измеримы и суммируемы на промежутке Отметим, что по условию непрерывны и в силу сказанного выше удовлетворяют неравенствам Таким образом, при сделанных выше предположениях мы определили контурный интеграл (144) по . Сказанное, естественно, сохраняется и в случае незамкнутых кривых. Это относится, в частности, и к интегралам типа Коши. Пусть В — область, находящаяся внутри замкнутой кривой функция, регулярная внутри В. Определим строго понятие предельного значения в какой-либо точке на . Кратко говоря, речь будет идти о том, что при определении предельного значения мы должны исключить стремление к из В по путям, касательным к l в точке . Пусть направление внутренней нормали к l в точке т. е. то направление, которое в окрестности принадлежит В. Пусть а — угол, с вершиной растворения меньше , биссектрисой которого является внутренняя нормаль Если имеет определенный предел при стремлении к во всех углах указанного типа, то этот предел называют обычно угловым предельным значением точке границы

Положим, что имеет везде или «почти везде» на l угловые предельные значения . Термин «почти везде» на обозначает почти везде на промежутке . Напомним, что точкам на соответствуют из указанного промежутка (значениям соответствует одна и та же точка на что несущественно). Положим, далее, что эти предельные значения суммируемая функция по s на промежутке При этом нельзя утверждать, что выражается через свои предельные значения по формуле Коши. Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Можно при этом исходить не от функции, регулярной внутри В, а от функции заданной на I и удовлетворяющей условиям (146). Сформулируем соответствующую теорему:

Теорема 1. Если l — гладкая кривая и заданная на l суммируемая функция, то условия (146) необходимы и достаточны для того, чтобы существовала регулярная внутри В функция угловые предельные значения которой на l совпадают почти везде на l с и которая представима формулой Коши

Отметим, что при условиях (146) интеграл, стоящий в правой части формулы (147), равен нулю, если z находится вне В. Условия (146) связаны с функцией определенной на Естественно, возникает вопрос об условиях, накладываемых на значения регулярной внутри В функции при которых имеет везде или почти везде на угловые предельные значения и выражается через них по формуле Коши (147). Достаточным условием этого является ограниченность в В, т. е. существование такого числа что для всех z из В. В случае, если В есть круг необходимое и достаточное условие состоит в ограниченности интегралов от по концентрическим окружностям т. е. в существовании такого числа что

Можно доказать, что эти интегралы возрастают при возрастании . Для любой области с гладкой границей имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы функция регулярная внутри В, имела везде или почти везде на I угловые предельные значения суммируемые на I, и выражалась через них по формуле Коши, необходимо и достаточно существование внутри В последовательности таких гладких замкнутых контуров стремящихся к что

где - определенное число (не зависит от ).

Стремление к l состоит в следующем: любая замкнутая область, лежащая внутри В, находится внутри всех начиная с некоторого номера п. В дальнейшем будет показано, что область В может быть бесчисленным множеством способов конформно преобразована в круг единичного радиуса и в качестве линий можно брать линии, которые при каком-либо из указанных конформных преобразований переходят в окружности Если на таких линиях условие (148) не выполнено, то не существует последовательности на которой оно выполнено.

Выше мы предполагали, что граница гладкая кривая. Достаточно предположить, что это — кусочно гладкая кривая [4]. При этом в отдельных точках может и не существовать касательной.

Гораздо более общим предположением, при котором все сказанное выше имеет место, является предположение, что l есть спрямляемая кривая Жордана. Определим точно это понятие. Пусть параметрическое представление замкнутой кривой Жордана и — какая-либо часть всего промежутка (или весь этот промежуток), соответствующего параметрическому представлению. Промежутку соответствует некоторая дуга X кривой Произведем какое-либо разбиение указанного промежутка на части:

что даст некоторое разбиение дуги X на части. Проводя через точки деления ломаную, будем иметь для ее длины выражение

Величина а зависит от способа разбиения промежутка. Если множество значений о при всевозможных способах разбиения имеет конечную точную верхнюю границу [I. 42], то эта граница называется длиной дуги . Если любая дуга X имеет в указанном смысле длину, то кривая называется спрямляемой кривой Жордана, и для нее в этом случае можно в качестве параметра взять длину дуги отсчитываемую от какой-либо ее определенной точки: как это мы делали для гладкой кривой. При этом почти везде на промежутке где L — длина всей кривой существуют производные удовлетворяющие соотношению Обе указанные выше теоремы имеют место и в том случае, когда l — спрямляемая кривая . Кордана. Отметим, что мы рассмотрели лишь тот случай, когда область ограничена одной замкнутой кривой (односвязная область).