173. Функции ...

Из формулы (60) непосредственно вытекает, что произведение, стоящее в правой части, представляет собою полный квадрат однозначной аналитической функции . Оказывается, что то же самое можно утверждать и относительно каждого из сомножителей Совершенно аналогично для случая тригонометрических функций

и каждый из сомножителей в правой части есть полный квадрат однозначной аналитической функции

Чтобы доказать наше утверждение относительно разности мы установим одну вспомогательную формулу. Рассмотрим разность

как функцию аргумента . Она имеет в параллелограмме с основной вершиной двойной полюс . В силу четности функции корнями функции (63) будут те две точки параллелограмма, которые соответствуют комплексным числам т. е., точнее говоря, это будут те точки параллелограмма, которые отличаются от на период. Если такая точка параллелограмма окажется полупериодом, то упомянутые две точки сольются в одну двойную точку, как это было разъяснено выше. Наряду с функцией (63) рассмотрим функцию

Докажем прежде всего, что эта последняя функция также имеет периоды Действительно, мы имеем в силу (49)

Таким образом, действительно, функция (64) имеет периоды Из формулы (64) непосредственно вытекает, что в основном параллелограмме она имеет двойной полюс и два корня, которые будут изображаться теми точками параллелограмма, которые отличаются от на период. Все эти утверждения непосредственно вытекают из расположения корней функции , а именно из того, что эти корни суть причем все они простые. Таким образом, функции (63) и (64), обе с периодами и имеют в основном параллелограмме одинаковые полюсы и одинаковые корни, с одной и той же для обеих функций кратностью. Мы можем утверждать, следовательно, что эти функции отличаются лишь постоянным множителем [169]:

Для определения постоянной С умножим обе части на и положим затем

В силу (43) будем иметь

и окончательно получаем искомую формулу

Для того чтобы исследовать разности нам остается только в формуле (65) положить

Так, например,

или, принимая во внимание, что в силу (49) имеем

т. е.

можем написать вместо (66)

или

Точно так же можно разобрать и две другие разности. Мы получаем, таким образом, следующие представления в виде квадрата частного двух целых функций:

где ввели следующие обозначения:

Установим некоторые свойства функций Эти функции суть, очевидно, целые функции, и, полагая мы имеем

Переписывая соотношение (67) в виде

получаем

и то же самое для двух других функций т. е. функции суть четные функции.

Подставляя выражения (68) в правую часть формулы (60) и извлекая корень, имеем

Для определения знака помножим обе части на и положим затем . Принимая во внимание разложение

а также формулы (70) и (43), убеждаемся, что в предыдущей формуле мы должны брать знак (—), т. е.