132. Свойство ортогональности.

Докажем теперь ортогональность сферических функций (16) на единичной сфере и вычйслим интеграл от квадрата этих функций по единичной сфере. Предварительно займемся вычислением интегралов

Мы имеем согласно определению этих функций

причем при получаем интеграл от квадрата полинома Лежандра

Мы выше показали [105], что

В конце настоящего номера мы приведем еще раз доказательство этой формулы, а пока приступим к вычислению интеграла пользуясь формулой (19).

Производя интегрирование по частям, можно написать

или

Но функция

как нетрудно проверить, пользуясь уравнением (84) из [1051, удовлетворяет уравнению

Умножая на можно переписать его в виде

Подставляя в формулу (20), будем иметь

или

Понижая число постепенно на единицу, получим

Откуда в силу (19) будем иметь следующее окончательное выражение для интегралов от квадратов функций

Полученные результаты дадут возможность вычислить интеграл от квадрата сферических функций. Сферические функции можно считать определенными на поверхности сферы единичного радиуса; являются обычными географическими координатами точек этой поверхности, причем суть меридианы и суть параллели. При таком выборе координатных линий элемент площади поверхности выражается, как известно, следующей формулой [II, 59]:

Докажем прежде всего, что две различные сферические функции различных порядков, т. е. при будут ортогональными на поверхности единичной сферы, т. е.

Пусть v — объем, ограниченный этой сферой, и — поверхность этой сферы. Применим к гармоническим функциям

формулу Грина [II, 193]

причем

В данном случае дифференцирование по нормали совпадает с дифференцированием по радиусу , так что последняя формула в силу (24) дает нам

откуда и вытекает непосредственно формула (23).

Покажем, что сферические функции (16), соответствующие одному и тому же значению , также будут взаимно ортогональными. Действительно, интегрирование по единичной сфере сводится, между пррчим, к интегрированию по в промежутке . Но функции (16) содержат следующие множители, зависящие от :

и произведение любых двух из этих множителей, проинтегрированное в промежутке , дает нуль [II, 142]. Точно так же можно проверить, что функции (18) также образуют ортогональную систему.

Вычислим, наконец, интеграл от квадрата каждой из построенных нами функций. Возьмем сначала сферическую функцию , не зависящую от , и составим интеграл от ее квадрата по поверхности единичной сферы:

Вводя новую переменную интегрирования и принимая во внимание формулу (19), будем иметь

Точно так же для других функций

Отсюда, принимая во внимание (21), будем иметь окончательно

В дальнейшем эти формулы мы используем при решении задачи о разложении произвольной функции, заданной на поверхности сферы, по сферическим функциям.

Приведем доказательство формулы (19). Пользуясь определением (11) полиномов Лежандра, можем написать

Интегрируя по частям, получим

Полином имеет корни кратности n. Его производная порядка имеет эти же корни первой кратности [I, 186], и, следовательно, внеинтегральный член в написанном уравнении равен нулю. Продолжая таким образом интегрировать по частям и дальше, получим

Но

и, следовательно,

Вводя новую переменную интегрирования по формуле получим

и, пользуясь формулой (28) из [I, 100], получаем формулу (19).