170. Основная лемма.

Рассмотрим элементарную функцию Это есть целая функция, имеющая простые корни в точках расположенных на вещественной оси и отстоящих друг от друга на расстоянии Две другие основные функции,

имеют в этих точках простые и двойные полюсы. Для функции мы имели представление в виде бесконечного произведения, а для

функций (34) мы имели представление в виде разложения на простейшие дроби. Совершенно аналогично мы построим в следующем номере целую функцию, которая имеет простые корни в точках

где комплексные числа, отношение которых не вещественно, любые целые числа. Эти точки (35) суть вершины сетки параллелограммов, изображенной на рис. 81. Для построения этой целой функции мы воспользуемся формулой Вейерштрасса, выражающей целую функцию в виде бесконечного произведения. Для применения этой формулы нам надо найти такое целое число чтобы ряд

был сходящимся. Штрих у знака суммы показывает, что суммирование производится по всем целым значениям кроме значения Аналогичное условие будет иметь место и в дальнейшем при наличии штриха у знака суммы или произведения. Мы можем переписать сумму (36) в виде

где расстояние от начала до той вершины сетки рис. 81, которой соответствует комплексная координата Пусть — кратчайшее расстояние до начала вершин упомянутой сетки, отличных от начала. Это число будет в то же время, очевидно, и кратчайшим расстоянием между двумя вершинами упомянутой сетки. Проведем мысленно на плоскости рис. 81 две окружности с центром в начале и радиусами где — целое число, удовлетворяющее условию Пусть есть кольцо, образованное этими двумя окружностями. Оценим приближенно число вершин сетки, находящихся в кольце

Пусть это число равно Проведем кружки с центрами в вершинах сетки, принадлежащих кольцу и радиусом . В силу определения числа эти круги не будут налегать друг на друга, и их общая площадь будет меньше площади кольца, с внутренним радиусом и внешним радиусом т. е.

или, после элементарных вычислений,

Для каждой из вершин, находящихся в кольце расстояние будет не меньше , и, следовательно, сумма слагаемых ряда (37), соответствующих вершинам, находящимся в кольце будет во всяком случае меньше

Эта оценка будет справедлива для слагаемых суммы (37), у которых будет достаточно большим по сравнению с например, При этом соответствующие точки будут наверно находиться в кольце для которого . Отбрасывая в ряде (37) конечное число слагаемых и заменяя оставшиеся слагаемые большими, получим, согласно предыдущему, превосходящий ряд

Этот ряд, как известно [I, 122], сходится при и в частности при и поэтому можно сделать вывод:

Основная лемма. Ряд (36) сходится при и, в частности, при .