62. Примеры интегралов от многозначных функций.

Рассмотрим некоторые примеры, когда под знаком интеграла стоят многозначные функции комплексного переменного. В качестве первого примера возьмем интеграл

где а — некоторое вещественное число и рациональная функция, такая, что если или Подинтегральная функция будет многозначной, так как при обходе точки против часовой стрелки совершает такой же обход, и, следовательно, аргумент этого выражения приобретает слагаемое само это выражение приобретает множи тель в результате обхода будет иметь вид т. е. в данном случае функция приобретает множитель отличный от единицы, если а нецелое число. Таким образом, начало координат является точкой разветвления нашей подинтегральной функции. Чтобы сделать функцию однозначнфй, проведем из точки разрез вдоль положительной части вещественной оси. На разрезанной таким образом плоскости Т наша подинтегральная функция будет уже однозначной, и, чтобы определить ее вполне, нам надо задать аргумент в какой-либо точке плоскости T. Согласимся, например, считать, что на верхнем берегу разреза, где z положительно, аргумент отрицательного числа равен При обходе по замкнутому контуру вокруг начала мы попадаем с верхнего берега разреза на нижний, причем аргумент получает дополнительное слагаемое так что мы должны считать на нижнем берегу разреза аргумент равным . Обозначая модуль величины z через будем иметь

и, следовательно,

Выберем теперь контур I интегрирования для интеграла (38). Возьмем за контур интегрирования замкнутую кривую, состоящую из следующих четырех частей: отрезка верхнего берега разреза, окружности с центром в начале и радиусом R, пробегаемой против часовой стрелки, отрезка нижнего берега разреза и, наконец, окружности с центром в начале и радиусом , пробегаемой по часовой стрелке (рис. 60). Чтобы иметь возможность интегрировать по положительной части вещественной оси, будем предполагать, что рациональная дробь не имеет полюсов на положительной части вещественной оси. Согласно основной теореме о вычетах, величина интеграла (38) будет равна произведению на сумму вычетов подинтегральной функции относительно всех полюсов рациональной дроби , которые будут в то же время и полюсами для подинтегральной функции. Мы при этом считаем, что взято настолько малым и R настолько большим, что все упомянутые полюсы находятся внутри области, ограничений нашим контуром интегрирования. Покажем теперь, что интегралы по окружностям стремятся к нулю при и . Действительно, применяя обычную оценку, будем иметь

Но по условию при и, следовательно, выражение, стоящее справа, действительно стремится к нулю при . Точно так же окружности будем иметь оценку

итак как по условию при то последнее выражение также стремится к нулю при . Таким образом, в пределе у нас останутся лишь интегралы по верхнему и нижнему берегам разреза, причем значение подинтегральной функции на этих двух берегах определяется по формулам (39), и это дает нам следующую формулу:

тде через мы обозначили сумму вычетов функции относительно всех ее полюсов, лежащих на конечном, расстоянии.

Принимая во внимание, что можно переписать предыдущую формулу в виде

Рис. 60.

или (согласно формулам Эйлера)

Формула (40) дает возможность вычислить многие определенные интегралы, для которых первообразная функция не выражается в конечном виде. Напомним еще раз те условия, которым должна подчиняться функция для того, чтобы эта формула имела место. Функция должна быть рациональной дробью, которая не имеет полюсов на положительной части вещественной оси и, кроме того, удовлетворяет условиям:

Рассмотрим в качестве частного примера интеграл

В данном случае, как нетрудно видеть, функция

удовлетворяет всем поставленным выше условиям и имеет единственный полюс . В этом полюсе функция

будет иметь вычет, который вычисляется по правилу: числитель делить на производную от знаменателя, т. е. этот вычет будет равен

Заметим, что при вычислении значения функции в точке мы должны руководиться тем определением этой многозначной функции, которое было дано выше, а именно на верхнем берегу разреза аргумент равен и, следовательно, при полуобходе вокруг начала на отрицательной части вещественной оси аргумент будет равен нулю. Иначе говоря,

Окончательно для интеграла (41), согласно формуле (40), получаем следующее значение:

В качестве следующего примера интеграла от многозначной функции возьмем

причем мы считаем, что трехчлен имеет вещественные коэффициенты и вещественные различные корни , где .

Будем считать, кроме того, что откуда непосредственно следует, что трехчлен будет положительным при . В (43) интегрирование совершается по отрезку вещественной оси, и радикал считается положительным на этом отрезке. Подинтегральная функция

будет иметь в точках точки разветвления первого порядка. Если мы проведем разрез вдоль отрезка вещественной оси, то функция (44) будет регулярной и однозначной на разрезанной таким образом плоскости Т [19].

Будем считать радикал положительным на нижнем берегу разреза. Чтобы попасть на верхний берег, мы должны обойти одну из точек разветвления, и на этом верхнем берегу радикал будет иметь отрицательное значение [19]. Возьмем наш интеграл по всему контуру разреза в положительном направлении, т. е. возьмем интеграл от функции (44) по нижнему берегу в направлении от и по верхнему берегу в направлении от Первая часть этого интеграла даст нам, очевидно, интеграл (43). При интегрировании по верхнему берегу подинтегральная функция изменит знак, но и направление интегрирования перейдет в противоположное, и, следовательно, величина интеграла по верхнему берегу будет такой же, что и по нижнему, т. е. величина интеграла по всему контуру разреза будет равна удвоенной величине интеграла (43).

Согласно теореме Коши, мы можем, не меняя величины интеграла, непрерывно деформировать наш замкнутый контур при условии не выходить из той области, где функция (44) регулярна. Если l — какой-либо замкнутый контур, содержащий внутри себя упомянутый выше разрез, и такой, что точка являющаяся полюсом функции (44), находится вне то из предыдущих рассуждений следует

Определим теперь вид разложения функции (44) вблизи . В первом случае мы можем написать

и, применяя формулу бинома Ньютона, получим

Определим значение радикала в этой формуле. Обратимся для этого к правой части формулы (44). Она по условию положительна на нижнем берегу отрезка Для того чтобы с этого нижнего берега попасть на отрезок вещественной оси, надо обойти точку против часовой стрелки. При этом аргумент разности увеличится на аргумент выражения (44) — на , т. е. вместо нуля этот аргумент станет

равным Иначе говоря, функцию (44) надо считать положительно мнимой на отрезке вещественной оси. (Положительно мнимым мы называем число при ) Из (46) при этом следует, что радикал надо считать положительно мнимым.

Совершенно так же, чтобы попасть с нижнего берега отрезка на отрезок , надо обойти точку по часовой стрелке, и после такого обхода аргумент выражения (44) будет т. е. это выражение будет отрицательно мнимым на отрезке .

Напишем теперь разложение функции (44) вблизи

или, согласно биному Ньютона,

и, согласно предыдущим рассуждениям, надо считать отрицательно мнимым. Напомним, что по условию и из равенства вытекает, что и

Согласно теореме Коши, интеграл от функции (44) по большому замкнутому контуру L в окрестности равен сумме интегралов по контуру упомянутому выше, и по контуру X, обходящему вокруг причем каждый из интегралов берется против часовой стрелки. Интегралы по L и X равны произведению на коэффициент при в разложениях (46) и (47), и, следовательно,

и формула (45) дает нам окончательно значение нашего интеграла (43):