68. Бесконечные произведения.

Рассмотрим бесконечное произведение

где суть некоторые комплексные числа, отличные от нуля. Понятие о сходимости произведения (94) аналогично понятию о сходимости ряда. Образуем конечные произведения:

Если при беспредельном возрастании произведения стремятся к конечному пределу Р, отличному от нуля, то бесконечное произведение (94) называется сходящимся, и Р называется величиною этого бесконечного произведения.

Если среди чисел находятся равные нулю, то бесконечное произведение (94) называется сходящимся, если после исключения сомножителей, равных нулю, остается бесконечное произведение, сходящееся в указанном выше смысле. При этом величина бесконечного произведения, содержащего сомножители, равные нулю, считается равной нулю. Указанная выше оговорка о том, что предел Р произведений должен быть отличен от нуля, сделана для того, чтобы бесконечные сходящиеся произведения обладали обычным свойством конечного произведения, а именно — были равны нулю тогда и только тогда, когда хоть один из множителей равен нулю.

Положим, что все члены произведения (94) отличны от нуля, и составим бесконечный ряд

где в каждом члене значение логарифма выбрано каким-нибудь образом. Сумма первых слагаемых ряда (96) будет

Положим, что при некотором выборе значений логарифмов ряд (96) сходится, т. е. что существует предел Формула (95) дает и, следовательно, существует предел отличный от нуля, т. е. из сходимости ряда (96) вытекает сходимость произведения (94). Положим теперь наоборот, что бесконечное произведение (94) сходится, т. е. что существует предел отличный от нуля. Выбёрем для членов ряда (96) значение логарифмов так, чтобы в правой части формулы (97) иметь всегда главное значение логарифма произведения

где

В данном случае также будут стремиться к определенному пределу, а именно:

и, следовательно, ряд (96) будет сходящимся.

Мы предполагаем при этом, что Р не есть вещественное отрицательное число, так что находится внутри промежутка

В случае, когда Р есть отрицательное вещественное число, мы могли выбирать аргументы так, чтобы заключался в промежутке . Доказательство осталось бы прежним.

Мы приходим таким образом к следующему общему предложению: если все числа отличны от нуля, то для сходимости бесконечного произведения (94) необходимо и достаточно, чтобы ряд (96) сходился при некотором выборе значений логарифма; при этом величина бесконечного произведения будет

Общий член ряда (96) будет

и, принимая во внимание, что общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю, мы должны во всяком случае иметь т. е. ряд (96) может сходиться только в том случае, если, начиная с некоторого места, будем брать главные значения логарифма. Выбор значений логарифма в конечном числе первых слагаемых не может, естественно, повлиять на сходимость ряда и добавит лишь к сумме ряда (96) слагаемое вида , где — некоторое целое число. Такое добавочное слагаемое у величины не изменит, согласно формуле (98), величины Р. Таким образом, упомянутый выше выбор значений логарифмов у членов ряда (96) сводится к тому, чтобы, начиная с некоторого определенного, но произвольно выбранного места, брать главные значения логарифма.

Рассмотрим теперь бесконечное произведение, члены которого суть целые функции от

Возьмем на плоскости z круг с центром в начале и некоторым радиусом R. Положим, что при любом выборе R члены начиная с некоторого значения k, уже не имеют корней в круге . Пусть для определенности при заданном R это будет, начиная с номера (этот номер будет, вообще говоря, зависеть от R). Рассмотрим бесконечный ряд

который перепишем следующим образом:

Члены последней суммы суть регулярные однозначные в круге функции, так как не обращаются в этом круге в нуль. Положим, что при некотором выборе значений регулярных функций последний ряд равномерно сходится в круге Q. Обозначая его сумму через где есть некоторая регулярная функция [12], мы будем иметь

т. е. при этом (99) будет регулярной функцией в круге и корни ее в этом круге будут определяться корнями членов при Ввиду произвольности R мы можем утверждать вообще, что при равномерной сходимости ряда (100) во всякой ограниченной части плоскости (исключая несколько первых слагаемых, что не существенно) бесконечное произведение (99) будет сходиться на всей плоскости, его величина будет целой функцией и корни этой целой функции вполне определяются корнями сомножителей

Дифференцируя равномерно сходящийся ряд (100), получим

но

т. е.

Эта формула показывает, что в случае равномерной сходимости ряда (100) для бесконечного произведения (99) имеет место правило дифференцирования (102), аналогичное правилу дифференцирования конечного произведения.