27. Главное значение интеграла.

Мы переходим к исследованию предельных значений интеграла типа Коши. Предварительно нам надо ввести новое понятие в связи с интегралами от разрывных функций.

Пусть некоторая точка, содержащаяся внутри конечного промежутка некоторая функция, определенная в этом промежутке. Пусть далее интегралы

существуют при любом Положим, например, что непрерывна во всем промежутке кроме точки и становится неограниченной при приближении к с. Определение несобственного интеграла от по промежутку сводится к следующему: если при интегралы (149) стремятся к конечным пределам, то сумма этих пределов и называется интегралом от по промежутку Если этих пределов в отдельности для интегралов нет, но сумма этих интегралов при стремится к конечному пределу, то этот предел

называется главным значением интеграла от по промежутку

где и первые буквы французских слов valeur principale, что значит по-русски «главное значение».

В дальнейшем для сокращения письма мы не будем писать букв v. p. перед знаком интеграла. Характерным для определения (150) является тот факт, что в пределах интегралов, находящихся в правой части формулы, стоит одно и то же число , стремящееся к

Совершенно аналогично определяется главное значение интеграла и в том случае, когда имеет несколько точек разрыва непрерывности внутри промежутка. Если существует обычный несобственный интеграл от функции по всему промежутку то главное значение интеграла (150) совпадает, очевидно, с этим несобственным интегралом. Из определения (150) непосредственно вытекает, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и что интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от отдельных слагаемых, причем предполагается, что интегралы от слагаемых существуют в смысле главного значения.

Приведем простейшие примеры главного значения интеграла. Рассмотрим интеграл

где — некоторое целое положительное число

Если , то мы имеем

Если — четное, то в правой части последнее слагаемое будет и эта правая часть будет беспредельно возрастать при и интеграл (151) не существует. Если же — нечетное число, то правая часть написанной формулы не будет содержать , и мы получим нечетное).

При получим

т. е.

Будем говорить, что функция удовлетворяет в промежутке условию Липшица с показателем а, где если для любых значений и принадлежащих упомянутому промежутку, выполнено условие

где k — некоторая постоянная. Мы вводили раньше такое условие при и видели, что оно выполнено, если имеет внутри промежутка ограниченную производную . Рассмотрим интеграл

который мы можем переписать в виде

Пользуясь условием (152), получаем для подинтегральной функции первого интеграла следующую оценку в окрестности точки

и, следовательно, этот интеграл будет абсолютно сходящимся интегралом в обычном смысле [II, 85]. Второй интеграл равен

Таким образом, интеграл (153) имеет смысл при любом находящемся внутри если удовлетворяет условию Липшица (152). Функция определяемая равенством (153), будет определена для всех лежащих внутри Составим выражение

При положительном подинтегральные функции будут непрерывными функциями t и если принадлежит любому замкнутому промежутку, находящемуся внутри промежутка принадлежит промежутку или поэтому и выражение (155) будет непрерывной функцией от . Пользуясь тождеством

и условием (152), нетрудно показать, что при выражение (155) стремится к пределу равномерно по отношению к и, следовательно, функция определяемая формулой (153), будет непрерывной функцией во всяком замкнутом промежутке, лежащем внутри , т. е., проще говоря, есть непрерывная функция внутри промежутка Дальше мы докажем более точный результат, а именно: если удовлетворяет условию Липшица с показателем , то во всяком промежутке, лежащем внутри удовлетворяет также условию Липшица с тем же показателем а, а если в условии , то удовлетворяет условию Липшица с любым показателем, меньшим единицы.

Из условия (152) вытекает, очевидно, непрерывность функции Наоборот, из непрерывности функции не следует, что эта функция удовлетворяет условию Липшица, т. е. условие Липшица является более сильным условием, чем простая непрерывность. Отметим еще, что для существования интеграла (153) в некоторой точке достаточно потребовать, чтобы со удовлетворяла условию Липшица в некоторой окрестности точки , а в остальной части промежутка была просто непрерывной или даже только интегрируемой. Действительно, для существования интеграла (153) нам достаточно иметь оценку (154) при всех значениях t, достаточно близких к . Если каждую точку лежащую внутри можно покрыть промежутком, в котором выполняется условие Липшица (152) при некотором выборе k и а, то интеграл (153) будет существовать при всех лежащих внутри . При этом на различных промежутках, лежаших внутри постоянные к и а могут быть различными.

Выясним теперь возможность замены переменных в интеграле (153). Предварительно докажем лемму: если таковы, что отношения : стремятся к нулю при

Для доказательства леммы достаточно показать, что

Докажем, например, первое из этих равенств. Считая будем иметь при и, следовательно,

где — наибольшее значение

Если то мы могли бы написать

и лемма таким образом доказана.

Пользуясь этой леммой, легко доказать формулу замены переменных в интеграле (153).

Теорема. Пусть монотонно возрастающая функция от , изменяющаяся в промежутке если причем имеет в промежутке непрерывные производные до второго порядка, и внутри этого промежутка. При этом имеет место формула замены переменных

где и интеграл, стоящий справа, яядо понимать в смысле главного значения.

В соответствии с определением главного значения интеграла составим сумму

Обозначим . Согласно формуле Тейлора

Полагая ей затем получим

откуда непосредственно вытекает

и, следовательно, отношение стремится к нулю, если . Преобразуя интегралы, входящие в сумму (157), к переменной t, представим эту сумму в виде

Отметим при этом, что из следует и наоборот.

Пользуясь доказанной выше леммой, можно утверждать, что сумма (157) в пределе дает интеграл, стоящий в левой части формулы (156), чем и доказывается эта формула. В условиях теоремы монотонное возрастание функции можно, очевидно, заменить и монотонным убыванием.