126. Канонические решения.

Решение зависит от выбора точки в которой производится нормирование матрицы к единичной матрице. Поэтому матрица называется матрицей (решением), нормальной в точке Эта последняя точка должна быть отличной от особых точек Мы не можем, очевидно, задавать начальные условия в особой точке но мы можем стараться построить такое решение, которое имело бы наиболее простую форму в окрестности особой точки совершенно так же, как это нами делалось при построении решения в окрестности регулярной особой точки уравнения второго порядка. Мы и займемся сейчас построением такого решения. Назовем его каноническим решением в особой точке .

Мы можем написать

причем порядок первых двух множителей в правой части не играет роли, поскольку оба множителя содержат только одну матрицу . Относя множитель к множителю можно написать

где

есть матрица, регулярная в точке . Если все равны нулю, то обращается в единичную матрицу, и, следовательно, определитель этой матрицы отличен от нуля, если достаточно близки к нулю. Определитель матрицы отличен от нуля как определитель показательной функции от матрицы [96], и, следовательно, определитель матрицы отличен от нуля в точке если все близки к нулю, т. е. при этом и матрица будет регулярной в точке . Всякое решение нашей системы отличается от решения постоянным множителем С (матрица слева):

причем мы считаем, что определитель С отличен от нуля для того, чтобы получить полное решение. Вместо формулы (347) можно написать

но, как мы видели в [123],

где

Выберем теперь матрицу С равной

так что мы будем иметь

При этом мы получим решение, которое обозначим через и которое назовем каноническим в точке Это решение представляется в виде

где матрица, регулярная в точке и равная единичной матрице в этой точке. Мы покажем сейчас, что в этом каноническом решении матрица должна совпадать с матрицей

Заметим прежде всего, что все матрицы, которые мы выше строили, представляются степенными рядами от матриц если эти последние матрицы достаточно близки к нулю. При этом матрица так же, как и не должна содержать свободного члена в своем разложении, т. е. мы должны иметь разложение вида

Дифференцируя по x формулу

мы, как и в предыдущем пункте, получим следующую систему уравнений для элементов матрицы

Если все равны нулю, то должна обращаться в постоянную матрицу, причем в силу условия в точке это должна быть единичная матрица, т. е. мы должны иметь разложение вида

В этом разложении все коэффициенты должны быть регулярными в точке и должны обращаться в нуль в этой точке, поскольку вся сумма ряда должна при любых обращаться в точке в единичную матрицу. Подставляя разложения (350) и (352) в уравнение (351), мы, как и выше, придем к следующему равенству:

и, в частности,

Последнее равенство в силу регулярности левой части показывает, что

Напишем равенство (353) при

По условию мы должны иметь и, следовательно, первое слагаемое под знаком интеграла не имеет полярности в точке . Отсюда вытекает, что и второе слагаемое не должно иметь полярности в этой точке, и из этого обстоятельства непосредственно следует, что квадратная скобка должна обращаться в нуль при и, следовательно, все коэффициенты должны быть равны нулю. Совершенно так же, написав равенство (313) при мы убедимся, что все коэффициенты должны быть равны нулю и т. д. Так что действительно разложение (350) в силу (354) приводится к простому равенству и мы имеем следующее представление для решения, канонического в точке

Формула (353) дает возможность последовательного определения коэффициентов в разложении (352). Принимая во внимание, что

получим

где

При обходе вокруг точки решение (355) приобретает слева множитель Всякое другое решение, как мы знаем, будет иметь интегральную матрицу, подобную т. е. при обходе вокруг особой точки любое решение системы приобретает слева множитель, который представляет собой матрицу, подобную матрице

Вернемся к формуле (355). Второй множитель, как мы указали, регулярен в точке Обратная матрица

будет также, очевидно, регулярной в точке так как определитель матрицы равен единице в точке Вообще, если некоторое решение может быть представлено в окрестности точки в виде

где матрица регулярна в точке и ее определитель отличен там от нуля, то матрица называется показательной матрицей взятого решения. Можно доказать, что такая матрица определяется по заданному решению единственным образом, если близки к нулю. В частности, для канонического в точке решения это будет сама матрица и вообще для всякого решения она будет подобна матрице

Замечание. Во всех предыдущих рассуждениях мы пользовались по существу тем, что представление некоторой функции от матриц в виде степенного ряда этих матриц единственно. Эта теорема единственности лежит в основе метода сравнения коэффициентов, который мы применяли, подставляя ряд с неизвестными коэффициентами в обе части уравнения и сравнивая коэффициенты при одинаковых членах. На той же теореме единственности основано, например, утверждение, что если сумма степенного ряда от матриц есть однозначная функция от вблизи , то и все коэффициенты этого ряда должны быть однозначны.

Как мы упоминали раньше [97], теорема единственности верна, если суммы степенных рядов совпадают для матриц любого порядка. Во всех наших рассуждениях порядок матриц не играл никакой роли, а потому, согласно только что сказанному, мы и имели право пользоваться теоремой единственности.