67. Целые функции.

Как мы упоминали, целой функцией называется функция, регулярная на всей плоскости. Она представима на всей плоскости рядом Маклорена. Если этот ряд обрывается, то функция есть просто полином. В противном случае бесконечно далекая точка будет существенно особой точкой нашей функции, и в этом случае функция называется иногда целой трансцендентной функцией. Функции представляют собою пример целых трансцендентных функций. В дальнейшем мы будем пользоваться просто термином — целая функция.

Как известно, всякий полином имеет корни. Таким свойством может и не обладать целая функция. Так, например, вовсе не имеет корней. Составим сейчас общее выражение для целых функций, не имеющих корней. Пусть некоторая целая функция. При этом функция

будет также, очевидно, целой и не будет иметь корней. Покажем теперь наоборот, что всякая целая функция не имеющая корней, имеет вид (88), где есть некоторая целая функция, т. е. формула (88), где есть произвольная целая функция, дает общий вид целых функций не имеющих корней.

Раз целая функция не имеет корней, то функция

также будет целой. Интегрируя эту целую функцию, мы получаем тоже целую функцию

откуда и вытекает непосредственно (88).

Положим теперь, что целая функция имеет конечное число корней, отличных от

причем кратный корень выписывается столько раз, сколько единиц содержится в его кратности. Отношение

где символ обозначает произведение, распространенное на все целые значения от 1 до , будет, очевидно, целой функцией без корней, т. е. будет иметь вид (88). Мы получаем, таким образом, для нашей функции представление следующего вида:

где некоторая целая функция.

Мы считаем при этом, что точка не есть корень Если эта точка будет корнем кратности то вместо формулы (89) будем иметь, очевидно, следующую формулу:

В наиболее интересном случае, когда имеет бесчисленное множество корней, уже нельзя применить непосредственно формулу (90), так как справа будет стоять бесконечное произведение, которое может и не иметь смысла. Чтобы сделать это произведение сходящимся, мы должны будем приписать к сомножителям дополнительные множители показательного типа, которые, не вводя, новых корней, сделают бесконечное произведение сходящимся.

Разберем это для случая функции . Перепишем формулу (81):

При этом обе части будут регулярны в точке и мы можем почленно проинтегрировать бесконечный ряд от до переменной точки . Мы получим в результате такого интегрирования

или, принимая главное значение логарифма в окрестности начала,

Отсюда, переходя от логарифма к числам, мы получаем представление функции в виде бесконечного произведения:

где штрих у знака произведения показывает, что надо исключить сомножитель, соответствующий . В данном случае множители показательного типа гарантируют сходимость бесконечного произведения.

Группируя попарно сомножители, соответствующие значениям k, одинаковым по абсолютной величине, получим

Заменяя на можем переписать формулу в следующем виде:

Для более тщательного выяснения вопроса о разложении целой функции в бесконечное произведение нам надо выяснить некоторые основные факты, касающиеся бесконечных произведений.