151. Случай чисто мнимого аргумента.
Если 
есть некоторое решение уравнения Бесселя, то, как мы знаем, 
является решением уравнения [II, 49]
Полагая здесь 
мы видим, что функция 
есть решение уравнения
Возьмем сначала 
равной 
Чтобы получить решение уравнения (73), вещественное при вещественном 
умножим написанное решение на постоянную 
Таким образом мы получим следующее решение уравнения (73):
Функция 
также является решением уравнения (73), и если 
отлично от целого числа, то 
суть два линейно независимых решения уравнения (73).
Если мы теперь возьмем 
равной первой функции Ханкеля 
то, добавляя еще некоторый постоянный множитель, придем к следующему решению уравнения (73):
Принимая во внимание (62), можно переписать эту формулу следующим образом:
Пользуясь первой из формул (61), мы можем выразить 
через 
. Действительно, эта формула дает
или, пользуясь (74),
и окончательно
Функции 
удовлетворяют соотношениям, аналогичным тем, которые мы в [145] вывели для 
Пользуясь определением (74) и свойством 
функций Бесселя с целым значком, нетрудно показать, что
Выражение функции 
с целым значком можно получить из (77), переходя к пределу при 
и раскрывая неопределенность:
Как мы упоминали в [111], асимптотическая формула
справедлива при 
, а потому можно вместо 
подставить 
считая z вещественным положительным и 
Применяя формулу (75), получим асимптотическое выражение 
при 
или
т. e. функция 
убывает по показательному закону при 
Уравнение (73) часто встречается в математической физике, и при этом решение 
с упомянутым законом убывания имеет большое значение в приложениях к физическим задачам.
Иногда символом 
обозначают функцию, которая в приведенных нами обозначениях равна 
Если в уравнении (72) заменить k на 
то мы увидим, что функции 
являются решениями уравнения
Эти решения будут линейно независимыми так же, как 
для уравнения Бесселя.
Существуют в большом числе таблицы функций Бесселя. Укажем, например, на книгу Р. О. Кузьмина «Бесселевы функции», в которой имеются и таблицы.
