160. Параболические координаты и функции Эрмита.
Отметим один частный случай замены переменных в волновом уравнении
Введем вместо х и у новые переменные 
и положим, что преобразование переменных совершается при помощи формулы
где 
регулярная функция комплексного переменного С По правилу дифференцирования сложных функций будем иметь
и, далее,
Пользуясь уравнениями Коши — Римана
а также тем, что 
удовлетворяют уравнению Лапласа, нетрудно проверить следующую формулу:
или
Рассмотрим частный случай
ИЛИ
Координатные линии 
будут на плоскости 
изображаться параболами [34], а потому новые координаты 
называются параболическими. Совершая преобразование в волновом уравнении указанным выше способом, будем иметь
и, следовательно, уравнение (25) в новых переменных будет в данном случае выглядеть следующим образом:
Будем искать его решение в виде произведения двух множителей, из которых один зависит от 
, а другой — от 
Подставляя в уравнение (26) и разделяя переменные обычным образом, получим
Обе части полученного тождества должны равняться одной и той же постоянной, которую мы обозначим через 
Таким образом, мы придем к следующим двум уравнениям:
Напомним дифференциальное уравнение (11), которому удовлетворяли функции Эрмита
где для функции Эрмита имеем следующую формулу:
Рассмотрим первое из уравнений (27) и введем вместо 
новую переменную по формуле
Отсюда
и, подставляя в (27), придем к уравнению
Если мы определим постоянную 
равенством
где 
— некоторое целое положительное число или нуль, то преобразуем уравнение (30) к виду (28). Таким образом, в новой переменной 
за функцию X мы можем взять функцию Эрмита
или, возвращаясь к старой переменной, получим
где 
произвольная постоянная.
Точно 
же, рассматривая второе из уравнений (27) и вводя вместо 
новую переменную
мы приведем и второе уравнение к виду (28) при том же самом значении параметра Возвращаясь к старой переменной, будем иметь
Таким образом, мы получаем бесчисленное множество решений волнового уравнения (25) следующего вида:
Эти решения образуют полную систему функций и являются аналогом функций Бесселя для случая цилиндрических координат. Здесь так же, как и там, можно построить аналог и функциям Ханкеля, что дает возможность, например, решать задачи дифракции относительно параболического цилиндра.
