189. Пример конформного преобразования.

Как мы видели выше, при функция

преобразует верхнюю полуплоскость z на прямоугольник плоскости и, и, следовательно, обратная функция преобразует прямоугольник на плоскость. Длины сторон прямоугольника определяются интегралами

где . Таким путем можно получить прямоугольник с любым отношением сторон. Добавляя к правой части формулы (179) постоянный множитель можно получить прямоугольник с любыми сторонами, и такой прямоугольник будет преобразовываться на полуплоскость функцией Покажем теперь, что функция, преобразующая прямоугольник

в круг, просто выражается также через функцию Вейерштрасса. Возьмем на плоскости прямоугольник вершины которого имеют координаты и (0, b). Пусть функция, преобразующая в единичный круг, причем некоторая точка находящаяся внутри переходит в центр круга. Если мы аналитически продолжим через ту сторону, которая соединяет вершины (0,0) и (0, а), в силу принципа симметрии будем преобразовывать прямоугольник симметричный с относительно упомянутой стороны, во внешнюю часть единичного круга, т. е. в область причем точка симметричная сточкой перейдет в бесконечно далекую точку. Принимая во внимание однолистность отображения, можем утверждать, что имеет в точке простой корень, а в точке S — простой полюс. Если мы построим еще два прямоугольника симметричных с и относительно мнимой оси, то один из них будет преобразовываться в область а другой — в область причем в точке функция будет иметь простой корень, а в точке простой полюс.

Рассуждая совершенно так же, как и в можно убедиться, что есть эллиптическая функция с периодами Основной параллелограмм (прямоугольник) периодов будет состоять из четырех вышеуказанных прямоугольников, причем выше мы отметили все нули и полюсы в этом параллелограмме периодов.

Полагая построим функцию Вейерштрасса с и составим новую функцию:

Она имеет те же простые нули и полюсы, что и наша функция в упомянутом выше параллелограмме периодов. Мы покажем сейчас, что функция (180) имеет периоды и отсюда будет непосредственно следовать, что отличаются лишь постоянным множителем. Пользуясь свойством функции , выраженным равенством (49), можем написать

что мы и хотели показать. Таким образом,

Для определения постоянной С положим и перепишем предыдущую формулу в виде

Определение функции дает

где Будем считать и — вещественным. Поскольку произведение распространяется на все целые значения и кроме мы будем иметь попарно сопряженные сомножители, а именно те, у которых одинаковы, а отличаются знаком. Если то соответствующие множители вещественны.

Таким образом, в рассматриваемом случае, когда вещественно, чисто мнимое, функция а будет вещественной при вещественном . В силу принципа симметрии она будет иметь сопряженные значения при сопряженных значениях и. Отсюда следует, что числитель и знаменатель в обеих дробях правой части формулы сопряженными, так что модуль каждой из дробей равен единице. Обратимся к левой части. Точка и — О находится на контуре основного прямоугольника (в его вершине), и, следовательно, находится на единичной окружности, т. е. Таким образом, формула (181) показывает, что где некоторое вещественное число. Окончательно получаем следующую формулу для функции, преобразующей прямоугольник в единичный круг:

Выбор числа играет роли. При изменении значения 0 единичный круг поворачивается вокруг центра.