177. Функции ...

Выше мы ввели наряду с функцией о еще три целые функции . Это приведет нас естественно к тому, чтобы наряду с функцией ввести еще три функции тэта.

Мы имеем согласно нашим обозначениям

или в силу (93)

Раскрывая скобки показателя степени и заменяя на v, а на , получим

где некоторая новая постоянная. Наконец, пользуясь соотношением (83), получим выражение функции через первую функцию тэта:

Аналогично получим для

где для сокращения письма мы положили

Формула (93) дает нам при этом

и мы получаем, окончательно проделывая вычисления, аналогичные предыдущим:

Точно так же будем иметь

Выведем теперь разложение в степенной ряд для значений функций тэта, стоящих в выражениях функций Мы имеем

Но в силу (81) вычитание из v числа у равносильно умножению z на и, следовательно, принимая во внимание (92),

Точно так же

и вычитание из числа v числа равносильно умножению z

Отсюда следует

или заменяя переменную суммирования на

и точно так же

Введем три новые фуикции тэта:

При этом предыдущие формулы для могут быть написаны в виде

где некоторые новые постоянные. Для определения постоянных мы положим При этом откуда

и окончательно имеем

Иногда вместо пишут

Степенные разложения (102) для функций тэта могут быть легко преобразованы в тригонометрические ряды, как это мы уже делали для функций . Мы получим, таким образом,

В дальнейшем для сокращения письма мы не будем писать аргумента т. е. вместо будем просто писать и вместо (0) будем писать . Принимая во внимание (95) и (104), можем написать для этих величин следующие разложения:

Эти ряды весьма быстро сходятся, так как но условию и суммы этих рядов суть функции, регулярные от , определенные в верхней полуплоскости.

Нетрудно теперь установить и связь функции Вейерштрасса с функциями тэта. Мы имели раньше

и, следовательно, принимая во внимание выражение функций а через функции тэта, будем иметь