41. Минимальное свойство преобразования на круг.

Рассмотрим функцию

регулярную в круге Она преобразует его в некоторую область В, которая может быть многолистной и может содержать точки разветвления. Круг , где переходит в некоторую область Площадь ее выражается, как мы знаем [31], интегралом

Мы можем написать этот интеграл в следующем виде:

Ввиду абсолютной и равномерной сходимости ряда в круге мы можем перемножить наши два ряда почленно и интегрировать их также почленно. Заметим при этом, что при интегрировании функции вида , где k — целое число, отличное от нуля, по промежутку мы получаем нуль.

Следовательно, при перемножении рядов в предыдущей формуле нам достаточно сохранить лишь члены, не содержащие множителей вида , и интегрирование по сведется просто к умножению на . Таким образом получим

или

При стремлении к R последняя сумма будет, увеличиваясь, стремиться или к конечному пределу или к бесконечности. Но во всяком случае этот предел, который дает нам площадь всей области В, будет больше числа равного площади исходного круга если в разложении (65) хоть один из коэффициентов отличен от нуля. Мы получаем таким образом следующий результат: при преобразовании круга функцией (65), регулярной внутри этого круга, площадь области увеличивается, если хоть один из коэффициентов отличен от нуля.

Установив эту предварительную теорему, мы перейдем теперь к выяснению одного важного свойства функции, совершающей конформное преобразование. Пусть В — некоторая односвязная ограниченная область плоскости z, причем, не ограничивая общности, мы будем считать, что начало находится внутри этой области. Пусть, далее, функция, совершающая конформное преобразование В в единичный круг, причем начало переходит в центр круга. Эта функция будет иметь в окрестности разложение вида

где мы можем считать . Рассмотрим теперь вместо функции новую функцию

Она будет давать преобразование В в круг где и ее разложение вблизи будет иметь вид

Функция, обратная ей, будет регулярна внутри круга и будет иметь разложение формы

Двойной интеграл

дающий площадь круга, равен, очевидно, . Если мы вместо функции возьмем какую-нибудь другую функцию регулярную внутри В и имеющую в окрестности разложение вида (67), то, подставляя вместо разложение (68), получим в результате некоторую функцию от регулярную внутри круга и имеющую там разложение:

Вычислим двойной интеграл (69) для этой новой функции . Переходя на плоскость и принимая во внимание выражение элемента площади на плоскости через элемент площади на плоскости [31]:

найдем

и, согласно доказанному выше предложению, величина этого интеграла будет больше если в разложении (70) хоть один из коэффициентов будет отличным от нуля. Если же все эти коэффициенты равны нулю, т. е. если , то, очевидно, . Приходим, таким образом, к следующей теореме:

Теорема. Среди всех функций, регулярных внутри В и имеющих вблизи разложение вида (67), функция, конформно преобразующая В в круг с центром в начале, дает интегралу (69) наименьшее значение.

Можно использовать эту теорему для построения приближенного выражения функции , преобразующей В в круг, в виде полинома. Итак, будем считать, что представляется приближенно полиномом степени :

и определим коэффициенты этого полинома из того условия, что полином (71), среди всех полиномов такого же вида, минимизирует интеграл (69), т. е. дает этому интегралу наименьшее значение. Построим произвольный полином

и построим затем новый полином, имеющий ту же форму (71), что и полином :

где — некоторый параметр, который мы будем считать вещественным. Составим интеграл (69) для нашего нового полинома

Эта функция от должна иметь минимум при Приравнивая нулю ее производную по при мы получаем следующее условие:

которое должно иметь место при любом выборе полинома .

Совершенно так же заменяя на , где — вещественно, получим вместо условие

Складывая, получим условие

Принимая последовательно равным

и вводя обозначение

мы будем иметь для искомых коэффициентов полинома (71) следующую систему уравнений первой степени:

Таким образом, в существенном дело сводится к вычислению интегралов вида (73).

Если контур области есть простая замкнутая, сама себя не пересекающая кривая, то можно доказать, что построенные таким образом полиномы стремятся при равномерно внутри В к функции, отображающей круг.

Сделаем в заключение одно замечание по поводу первой из доказанных в настоящем номере теорем. Функция (65) может преобразовывать круг в область В, чрезвычайно сложную по своим геометрическим свойствам как в отношении многолистности, так и в отношении вида контура. Такая область, как можно показать, может даже не иметь площади в обычном смысле этого слова, и то, что мы называли выше площадью области, надо понимать как предел площадей областей находящихся внутри В и расширяющихся таким образом, что всякая точка В попадает внутрь этих областей так, что эти области стремятся к В как к пределу. Если В имеет площадь в обычном смысле слова, то эта площадь совпадает, очевидно, с указанным выше пределом.