140. Электрон в центральном поле.

При рассмотрении электрона в поле, образованном некоторым положительным ядром, мы имеем, согласно теории Шредингера, следующее уравнение:

где h — постоянная Планка, масса электрона, — его заряд, заданная функция, зависящая только от расстояния от начала и определяющая потенциал поля, волновая функция и, наконец, Е — постоянное число, определяющее уровень энергии рассматриваемой физической системы. Уравнение (106) должно иметь решение, определенное во всем бесконечном пространстве и остающееся ограниченным на бесконечности. Будем искать решения уравнения (106) в виде произведения функции только от на функцию только от 0 и Выражая операторы Лапласа в сферических координатах, можем написать

где, как и выше [136],

Уравнение (106) перепишется в виде

Подставляя выражение и разделяя переменные, мы будем иметь

Обе части написанного равенства должны равняться одной и той же постоянной, которую мы обозначим через . Это даст нам два уравнения:

Уравнение (107) должно иметь решение, непрерывное на всей поверхности сферы. Мы уже знаем, что при этом параметр должен принимать

значение и в качестве решения будем иметь сферические функции Подставляя указанное значение X в уравнение (108), будем иметь уравнение для определения множителя, зависящего от , который мы обозначим теперь через

Значения параметра Е определятся из условия, что уравнение (109) должно иметь решение, ограниченное как при так и при стремлении к Вообще говоря, мы получим бесчисленное множество таких значений Е. Они обычно нумеруются, начиная с целого числа т. е. они нумеруются по порядку следующими целыми числами:

Таким образом, значение Е будет зависеть от двух значков, а именно — от значения целого числа I и номера . Число l называется азимутальным квантовым числом и число называется главным квантовым числом. При заданных мы имеем, вообще говоря, определенную функцию удовлетворяющую уравнению (109) и указанным выше предельным условиям при Что же касается функций то их будет всего

и для полной характеристики волновой функции мы должны указать значение и для третьего значка . Это значение называется обычно магнитным квантовым числом. Оно играет существенную роль при рассмотрении возмущения рассматриваемой физической системы, вызываемого включением магнитного поля, направленного по оси

Рассмотрим теперь тот частный случай, когда потенциал является кулоновским потенциалом

где k — некоторое целое число, равное, например, для случая атома водорода, единице. Подставляя выражение потенциала в уравнение (109), придем к уравнению следующего вида

Введем вместо новую переменную :

и положим

Кроме того, вместо введем новую искомую функцию у:

Подставляя все это в (110), придем к уравнению

которое мы рассматривали в [115].

Остановимся на рассмотрении отрицательных значений параметра Е. При этом, как мы видели выше, получим бесчисленное множество дискретных значений для постоянной а именно, обозначая

мы имели следующие значения для параметра X:

откуда

и, следовательно, в силу (111) для параметра Е мы имеем следующие значения:

где — главное квантовое число, равное

Мы видим отсюда, что для случая поля Кулона значения параметра Е не зависят от азимутального квантового числа Если фиксировать и тем самым значение параметра Е, то, поскольку можно придавать следующие значения:

Каждому такому значению I соответствует (21 1) собственных функций Таким образом, для значения (112) параметра Е будем иметь следующее общее число собственных функций:

Если вместо уравнения Шредингера мы взяли бы для случая одного электрона уравнение Дирака, то пришли бы к функциям, аналогичным шаровым функциям. Эти шаровые функции со щцномъ рассмотрены, например, в книге: В. А. Фок, Начала квантовой механики.