49. Ядро ctg((s-t)/2).

Применим сейчас основную теорему о предельных значениях интеграла типа Коши [29] к случаю окружности с центром в начале и радиусом единица. Положим, что на этой окружности дана вещественная функция , где удовлетворяющая условию Липшица. Мы можем, пользуясь формулой Шварца [48], построить регулярную внутри окружности функцию, вещественная часть которой имеет предельные значения и на самой окружности:

или, принимая во внимание, что ,

Полагая и разбивая наш интеграл на два интеграла получим

Положим, что точка к некоторой точке окружности Пользуясь теоремой о предельном значении интеграла типа Коши [29], получим предельное значение нашей функции:

или

но

и, отделяя в формуле (126) мнимую часть, получаем выражение предельных значений мнимой части через вещественную часть:

причем написанный интеграл надо понимать в смысле главного значения. Будем писать вместо и

Напомним, что формула (125) даст ту регулярную внутри круга функцию, мнимая часть которой равна нулю в центре круга. Принимая во внимание, что значение гармонической функции в центре круга равно среднему арифметическому ее значений на окружности можем написать

Функцию и можно считать периодической с периодом и функция получается также периодической, а в формуле (127) мы могли бы брать за промежуток интегрирования любой промежуток длины Функция имеет при простой полюс с вычетом, равным единице [21], и мы можем выразить ядро линейного преобразования (127) через ядро Коши:

где аналитическая регулярная функция во всех точках отрезка . Совершенно так же, как и в [28], можно показать, что если периодическая функция и удовлетворяет условию Липшица с показателем то удовлетворяет также условию Липшица с тем же показателем, если и с любым показателем, меньшим единицы, если Согласно (129) это утверждение вытекает также из аналогичного утверждения для ядра Коши.

Мы можем применить к функции линейное преобразование (127) и получим таким образом некоторую новую функцию удовлетворяющую условию Липшица:

Функция дает предельные значения мнимой части, если за предельные значения вещественной части принять v (?), причем

С другой стороны, если умножить регулярную функцию (125) на получим регулярную функцию . Но заданием вещественной части мнимая определяется с точностью до постоянного слагаемого и мы можем поэтому написать

Для определения постоянной С проинтегрируем обе части этого равенства по промежутку и примем во внимание (130):

и окончательно

т. е. двукратное применение преобразования (127) приводит с точностью до постоянного слагаемого к прежней функции с обратным знаком. Полученный результат мы можем записать в виде следующей формулы:

Это есть известная формула Гильберта, и ядро преобразования (127) естественно назвать ядром Гильберта. Заметим, что в левой части формулы (132) мы, как и в интеграле Фурье, не имеем права менять порядок интегрирования. Обозначая символически преобразование (127) одной буквой А, можем написать формулу (127) в виде причем в обеих функциях аргумент обозначен буквой s. При этом формула Гильберта (132) запишется в виде

Формулу (127) можно рассматривать как интегральное уравнение относительно и при заданной функции v (t). Из предыдущих рассуждений следует, что для его разрешимости необходимо выполнение условия (128). Одним из решений этого уравнения будет в силу (131) функция

Это есть то решение уравнения (131), которое удовлетворяет условию

Иначе говоря, это есть та мнимая часть регулярной функции которая обращается в нуль в начале координат. Если значение функции и в начале координат равно С, то

причем и есть решение однородного уравнения

ибо если и , то мнимая часть равная нулю в начале, равна, очевидно, нулю. Формула (134) дает все решения уравнения (127), так как по вещественной части мнимая определяется с точностью до постоянного слагаемого. В предыдущих рассуждениях считалось, что заданная и искомая функции удовлетворяют условию Липшица.

Мы можем написать преобразование (127) в виде обычного несобственного интеграла, аналогично тому как это мы делали в случае ядра Коши,

Действительно, принимая во внимание, что

так как однородное уравнение (127) имеет в качестве решения постоянную можем переписать формулу (127) в виде

Положим, что функция и имеет непрерывную производную. Принимая во внимание, что

применяя к интегралу (127) формулу интегрирования по частям на промежутках и учитывая еще формулу

получим для следующее выражение:

причем справа стоит обычный несобственный интеграл.

Если и удовлетворяет условию Липшица, то функция комплексного переменного определенная формулой (125), как мы видели выше, будет непрерывной вплоть до окружности Пусть

есть ряд Фурье функции и . Для функции будем иметь ряд Фурье

В силу уравнения замкнутости [II, 169]

и, следовательно,

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда Итак, в результате преобразования (127) интеграл от квадрата функции по промежутку те) может только уменьшиться. Отметим при этом, что мы считаем функцию и вещественной. Мы видим, таким образом, что преобразование (127) равносильно переходу от ряда Фурье к ряду Фурье (1362).